¿Cuándo converge la integral impropia de la suma de dos funciones?

Question

Supongamos que tenemos una función $f(x)$ definida en $[a,+\infty[$ y consideremos la integral impropia de primer tipo $\int_a^{+\infty}{f(x)}{dx}$ donde $f$ puede escribirse como $f=f_1+g_1$, entonces tendremos $\int_a^{+\infty}{f(x)}{dx}=\int_a^{+\infty}{f_1(x)}{dx}+\int_a^{+\infty}{g_1(x)}{dx}$. Tengo algunas preguntas:

Si demostramos que $\int_a^{+\infty}{f_1(x)}{dx}$ (o $\int_a^{+\infty}{g_1(x)}{dx}$) es divergente, ¿podemos decir directamente que $\int_a^{+\infty}{f(x)}{dx}$ es divergente (es decir, sin calcular $\int_a^{+\infty}{g_1(x)}{dx}$ (o $\int_a^{+\infty}{f_1(x)}{dx}$))?

Si no es así, ¿cuáles son las condiciones en las 2 integrales impropias para que $\int_a^{+\infty}{f(x)}{dx}$ sea convergente o divergente? (es decir, ¿deben ser ambas convergentes o ambas divergentes o...)?

Answer 1

No, $\int_a^\infty f_1$ divergente no implica que $\int_a^\infty f$ diverja. Ejemplo sencillo: Sea $f\equiv 0.$ Entonces $f = f_1+g_1,$ donde $f_1\equiv 1, g_1 \equiv -1.$ Por lo tanto $\int_a^\infty f$ converge (obviamente), a pesar de que las integrales de $f_1,g_1$ divergen ambas.

Entonces lo que podemos decir es esto: Si las integrales de $f_1,g_1$ convergen ambas, entonces la integral de $f$ también converge. Pero esto no es una doble implicación como muestra el ejemplo anterior.

Answer 2

$\infty-\infty$ es indefinido, por lo que si la integral de uno de $f_1, g_1$ tiende a $\infty$ y la otra a $-\infty$, entonces la descomposición no te dice si $\int f_1+g_1$ tiende a un límite o no. Sin embargo, la descomposición funcionará en todos los demás casos en los que una integral tiende a $\pm \infty$ y la otra no, o donde ambas convergen.

Preguntas si la divergencia de $\int f_1$ implica que puedes omitir el cálculo de $\int g_1$. No, debido a la posibilidad de $\infty-\infty$. Sin embargo, si puedes demostrar que $\int g_1$ está acotado, puedes inferir la divergencia de $\int f_1+g_1$.

También existe, supongo, la posibilidad de que por "divergencia" incluyas la oscilación, como por ejemplo $f(x)=\sin(x)$. En ese caso, no estoy seguro de qué se puede inferir.

Answer 3

$$ \int_a^{+\infty}{f(x)}{dx}=\int_a^{+\infty}{f_1(x)}{dx}+\int_a^{+\infty}{g_1(x)}{dx} $$ Si dos de las tres integrales convergen, entonces lo hace la tercera. Puede suceder que una de ellas converja, pero que las otras dos no lo hagan.