Definir una función lineal en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$

Question

Estaba curioso sobre cómo definir una función lineal en un espacio vectorial cuya base no es contable. En este caso, para tener un ejemplo concreto, pensé en el espacio de secuencias en $\mathbb{R}$, es decir,

$$\mathbb{R}^\mathbb{N}=\prod^{\infty}\mathbb{R}$$

Imagina que quisiéramos definir una función lineal $A_{i,j}$ que para una secuencia $x$ en $\mathbb{R}$ actúa como un operador de intercambio de elementos:

$$x=(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_j,...)$$

$$A_{i,j}(x) = (x_1, x_2, ..., x_j, ..., x_i,...)$$

Si la base no es contable, ¿cómo podemos expresar $x$ en términos de una combinación lineal de los elementos de la base $\{e_1, e_2, ...\}$ es decir: ¿como un vector de algunas coordenadas? Y, sin esta notación, ¿cómo podemos expresar nuestra función $A_{i,j}$? En el caso de $\mathbb{R}^n$, sería trivial construir una matriz de intercambio que represente dicha función. ¿Es posible encontrar una forma de matriz (infinita) en este otro caso?

Edit: muchas gracias por los comentarios. Uno de ellos me hizo darme cuenta de que tal vez mi elección de la función $A_{i,j}$ no es la mejor para la pregunta que tengo, ya que solo actúa en un subespacio de dimensión finita de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. En este sentido, un ejemplo mejor podría ser una función $B_i$ que añade un $0$ en la i-ésima posición de una secuencia, es decir,

$$B_i(x) = (x_1, x_2, ..., x_{i-1}, 0, x_i,...)$$

Answer 1

No es (usualmente) necesario que sea posible representar una función lineal de un espacio vectorial $V$ a $W$ como una matriz. Solo necesita tener estas dos propiedades:

$$f(u+v) = f(u) + f(v)$$

$$f(\lambda v) = \lambda f(v)$$

Estas pueden ser condensadas en una regla como en el comentario de Vincent Batens.

Para un espacio de dimensión finita y algunos casos infinitos contables, es posible representar la función lineal como una matriz pero esto no es necesario. Un espacio vectorial de dimensión arbitraria no numerable solo tiene una base si aceptamos el Axioma de Elección.

Un ejemplo interesante de una función lineal que no puede ser fácilmente representada como una matriz es la transformada de Fourier.

Answer 2

Tenga en cuenta que su $B_i$ no es lineal, porque $B_i(x+y)\not = B_i(x) + B_i(y)$.

La diferenciación sobre el espacio de todas las funciones diferenciales es un ejemplo común de un mapa lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita.