Lógica de primer orden sin igualdad

Question

¿Podemos prescindir de la igualdad en la lógica de primer orden? He mirado algunos casos en los que la igualdad es esencial y he encontrado que parece suficiente tener la desigualdad implícita en las variables. Sea $\phi(x,y)$ sea una fórmula que no contenga igualdad.

En lugar de escribir $(\forall x)(\exists y) x \neq y \wedge \phi(x,y)$ se puede escribir $(\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$ Suponiendo que diferentes variables denoten objetos diferentes. De la misma manera:

$(\exists x)(\exists y) \phi(x,y)$ en lugar de $(\exists x)(\exists y) x \neq y \wedge \phi(x,y)$

$(\forall x)(\forall y) \phi(x,y)$ en lugar de $(\forall x)(\forall y) x = y \vee \phi(x,y)$

$(\exists x)(\forall y) \phi(x,y)$ en lugar de $(\exists x)(\forall y) x = y \vee \phi(x,y)$

Al revés, si queremos expresar que $(\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$ permitiendo el caso $x=y$ tenemos que escribir $(\forall x)(\exists y) \phi(x,x) \vee \phi(x,y)$ y en consecuencia

$(\exists x)(\exists y) \phi(x,x) \vee \phi(x,y)$ en lugar de $(\exists x)(\exists y) \phi(x,y)$

$(\forall x)(\forall y) \phi(x,x) \wedge \phi(x,y)$ en lugar de $(\forall x)(\forall y) \phi(x,y)$

$(\exists x)(\forall y) \phi(x,x) \wedge \phi(x,y)$ en lugar de $(\exists x)(\forall y) \phi(x,y)$

Otro caso es "hay exactamente un objeto $x$ con $\phi(x)$ ":

$(\exists x)(\forall y) \phi(x) \wedge \big(\phi(y) \rightarrow y = x\big)$ se convierte en $(\exists x) \phi(x) \wedge \neg (\exists x)(\exists y)\phi(x) \wedge \phi(y)$

Me pregunto si todas las frases de la lógica de primer orden que incluyen la igualdad pueden escribirse de forma equivalente sin la igualdad cuando se interpretan diferentes variables para denotar diferentes objetos. Por el momento me gustaría restringir la pregunta a los lenguajes sin símbolos de función y constantes individuales, es decir, que sólo comprenden símbolos de relación y variables.

Answer 1

La cuestión es la siguiente:

¿Podemos prescindir de la igualdad en la lógica de primer orden y conseguir algo igualmente expresivo utilizando un lenguaje con la semántica de los cuantificadores modificada para que se asignen valores diferentes a las distintas variables?

La propuesta aquí se remonta, de hecho, a la de Wittgenstein Tractatus 5.53, donde escribe: "La identidad del objeto la expreso mediante la identidad del signo y no mediante un signo de identidad. La diferencia de los objetos por la diferencia de los signos". ¿Se puede hacer funcionar esta propuesta, no desarrollada realmente por Wittgenstein?

La respuesta es que sí puede, como demostró Hintikka en 1956 ("Identidad, variables y definiciones impredicativas", Revista de Lógica Simbólica ). Hintikka distingue la lectura habitual "inclusiva" de las variables (es decir, se nos permite asignar el mismo objeto a variables distintas) de la lectura "exclusiva", y luego demuestra el teorema clave (resumido en la p. 235):

[Todo lo que es expresable en términos de cuantificadores inclusivos y de identidad puede expresarse también mediante los cuantificadores débilmente exclusivos sin utilizar un símbolo especial para la identidad.

Así que sí, la conjetura de Hans Striker es correcta. Para una revisión más reciente del resultado de Hintikka, en el contexto de la interpretación del Tractatus Véase, por ejemplo, Kai F. Wehmeier, "Cómo vivir sin identidad, y por qué", Revista Australiana de Filosofía 2012, descargable en http://www.academia.edu/949632/How_to_live_without_identity_--_and_why

Answer 2

Para los finitos $\mathcal{A}$ la identidad es definible en primer orden en $\mathcal{A}$ si y sólo si $\mathcal{A}$ es asimétrica (no tiene automorfismos no triviales).