¿Puede un campo tener un polinomio irreducible de cualquier grado?

Question

Todos sabemos que todos los polinomios irreducibles en $\mathbb{C}[x]$ son lineales y en $\mathbb{R}[x]$ no son más de grado 2. Sin embargo, en $\mathbb{Q}[x]$ podemos tener un polinomio irreducible en cualquier grado.

Entonces la pregunta es: para cualquier $n\in\mathbb{Z}^+$, ¿existe un campo $K$ $(\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq\mathbb{C})$ tal que todos los polinomios irreducibles en $K[x]$ tengan grado $\le n$, y existe un polinomio irreducible de grado $n$?

Answer 1

Cualquier campo numérico $K$ (es decir, una extensión finita de $\mathbb Q$) tiene polinomios irreducibles de todos los grados $n\ge1$. Para ver esto, fija un ideal primo $\mathfrak p$ del anillo de enteros $\mathcal O_K$. Dado que $\mathcal O_K/\mathfrak p$ es un campo finito, existe un polinomio irreducible mónico $\overline f\in(\mathcal O_K/\mathfrak p)[x]$ de grado $n$. Este se eleva a un polinomio mónico $f\in\mathcal O_K[x]$, el cual también es irreducible, ya que cualquier factorización de $f$ reduciría módulo $\mathfrak p$ a una factorización de $\overline f$. Por el lema de Gauss (que funciona para polinomios mónicos sobre todo dominio integralmente cerrado), $f$ sigue siendo irreducible en $K[x]$ también.

Si $K$ es un campo arbitrario, entonces existe un grado maximal $n$ de polinomios irreducibles sobre $K$ si y solo si $K$ es algebraicamente cerrado (en cuyo caso $n=1$) o cerrado real ($n=2$). De hecho, supongamos que el grado maximal es $n$. Entonces $K$ es perfecto: si $K$ es un campo imperfecto de característica $p$, existe un elemento $a\in K$ sin raíz $p$-ésima, y entonces los polinomios $x^{p^k}-a$ son irreducibles para todo $k$. Por el teorema del elemento primitivo de Artin, se sigue que toda extensión finita de $K$ es simple, por lo tanto es de grado a lo sumo $n$. Así, si $L$ es una extensión de $K$ de grado $n$ (lo cual existe al haber un polinomio irreducible de grado $n$), entonces $L$ no tiene ninguna extensión finita propia; es decir, $L$ es la clausura algebraica de $K$. Por el teorema de Artin-Schreier, la clausura algebraica de $K$ es una extensión finita de $K$ solamente si $K$ es algebraicamente cerrado o cerrado real.