Tengo un problema con la solución de la ecuación diferencial en solitones no topológicos $$\frac{d^2\phi(x)}{dx^2}+(w^2-\mu^2)\phi(x)+\phi(x)^2-a\phi(x)^3=0$$ He obtenido información de que el enunciado para resolver esta ecuación diferencial es $$\phi(x)^n=\frac{a}{b+c\cosh{Dx}}$$ pero no sé cómo utilizar este enunciado, especialmente para encontrar las constantes $a,b,c,d,n$ o cuál es el método para utilizar este enunciado.
Gracias
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Yuriy S
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Esta ecuación nos lleva a considerar la función inversa $x(\phi)$ en su lugar.
Reescribiendo la ecuación como:
$$\frac{d^2\phi}{dx^2}+f(\phi)=0$$
Y usando la relación de la función inversa:
$$\frac{d^2\phi}{dx^2}=-\left(\frac{d \phi}{dx} \right)^3 \frac{d^2x}{d \phi^2}=-\frac{x''}{x'^3}$$
Obtenemos:
$$x''-f(\phi) x'^3=0$$
Introduciendo una nueva función:
$$ u(\phi)=x'$$
Podemos escribir:
$$u'-f(\phi) u^3=0$$
Integrando:
$$-\frac{1}{2 u^2}=\int f(\phi) d\phi+C_1= \\ =\int \left((w^2-\mu^2)\phi+\phi^2-a\phi^3 \right) d\phi+C_1=\frac{w^2-\mu^2}{2} \phi^2+\frac{\phi^3}{3}-\frac{a}{4}\phi^4 +C_1$$
O:
$$u^2=-\frac{1}{C_1+(w^2-\mu^2) \phi^2+\frac{2}{3} \phi^3 - \frac{a}{2} \phi^4}$$
$$u= \pm \frac{1}{\sqrt{C_1-(w^2-\mu^2) \phi^2-\frac{2}{3} \phi^3 + \frac{a}{2} \phi^4}}$$
Integrando una segunda vez, obtenemos:
$$x(\phi)= \pm \int \frac{d\phi}{\sqrt{C_1-(w^2-\mu^2) \phi^2-\frac{2}{3} \phi^3 + \frac{a}{2} \phi^4}}+C_2$$
Creo que podemos encontrar la forma exacta de esta antiderivada en términos de funciones elementales o funciones especiales simples (como integrales elípticas), pero lo dejaré para más tarde. En cualquier caso, lo anterior representa la solución implícita exacta de la EDO original.
No estoy seguro acerca del ansatz, puede que lo verifique más tarde, pero así es como abordaría esta ecuación si no se me proporcionara información adicional.
