Física: Campo eléctrico

Question

Esta pregunta involucra matemáticas. No creo que sea inapropiado aquí.

Estoy leyendo Electricity and Magnetism 3rd Edition de Purcell y Morin.

Ecuación ($1.22$): $$\vec{E}(x,y,z)=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \dfrac{\ (x^\prime, y^\prime, z^\prime)\ \hat{r}\ dx^\prime, dy^\prime, dz^\prime}{r^2}$$

En la página 22, dice:

"Una distribución de carga continua $\ (x^\prime, y^\prime, z^\prime)$ que en ningún lugar es infinita no causa ningún problema. La ecuación $(1.22)$ puede ser utilizada para encontrar el campo en cualquier punto dentro de la distribución. El integrando no se dispara en $r = 0$ porque el elemento de volumen en el numerador es igual a $r^2 \sin \phi\ d \phi\ d \theta\ dr$ en coordenadas esféricas, y el $r^2$ aquí cancela el $r^2$ en el denominador en la Ecuación $(1.22)$. Es decir, mientras $$ permanezca finito, el campo permanecerá finito en todas partes, incluso en el interior o en el límite de una distribución de carga."

Según el párrafo citado anteriormente, la ecuación $(1.22)$ se convierte en:

$$\vec{E}(x,y,z)=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \ (x^\prime, y^\prime, z^\prime)\ \hat{r}\ \sin \phi\ d \phi\ d \theta\ dr$$

Aquí no hay una dirección particular para $\hat{r}$ en $r=0$. Entonces, ¿cómo podemos decir que en coordenadas esféricas la integral no se dispara en $r=0$?

Tengo más preguntas sobre esto:

(2) ¿Cómo podemos estar seguros de que la integral no se dispara en $r=0$ en otros sistemas de coordenadas?

(3) ¿Existen expresiones análogas para el campo eléctrico (independientes de $r$) debido a la densidad de carga superficial y la densidad de carga lineal?

Answer 1

1. La pregunta de si la integral explota o no no es una pregunta "puntual", ya que el singleton $\{r=0\}$ tiene un volumen de $0$, tenemos $$ \int_{\overrightarrow r\in \mathbb R^3} f(r) \mathrm d \overrightarrow r = \int_{\overrightarrow r\in \mathbb R^3 \setminus\{0\}} f(r) \mathrm d \overrightarrow r$$ Este comentario es válido en cualquier sistema de coordenadas. En su caso, tiene una función suave escrita en coordenadas esféricas que está bien definida en todas partes menos en $r=0$. No hay problema: puedes elegir el valor de la función como quieras en $\{r=0\}$ incluso infinito, la integral seguirá estando bien definida y tendrá el mismo valor.
2. Aquí hay un teorema para tu tranquilidad: sea $(X,\mu)$ un conjunto de medidas, sea $f:X\rightarrow \mathbb R$ una función medible y sea $g:Y\rightarrow X$ un cambio de variables, entonces $$\int_{X} |f\circ g|\, \mathrm d \mu< +\infty \quad\Leftrightarrow\quad \int_{Y} |f|\,g\#\mathrm d \mu < +\infty$$ Este teorema es válido en una amplia generalidad: el cambio de variable $g$ no necesita ser continuo o biyectivo e incluye todos los cambios de variable que puedas encontrar. Escribí $\phi \# \mathrm d \mu$ para la medida de imagen. Por ejemplo, sea $X=\mathbb R^3$ y $Y= [0,2\pi]\times [0,\pi]\times \mathbb R_ +^*$, sea $$ g : \begin{matrix}Y&\rightarrow &X \\ (\theta,\phi,r)&\mapsto& (r\cos(\theta)\cos(\phi),r\sin(\theta)\cos(\phi),r\sin(\phi))\end{matrix}$$ Reconoces tu cambio de variable esférico y $$\mathrm d\mu = \mathrm d x\mathrm dy \mathrm d z \quad\quad \quad g\#\mathrm d \mu = r^2\sin(\phi)\mathrm d \theta \mathrm d \phi \mathrm d r$$ aquí $f=\rho \hat r$.
3. Si estás interesado en un tratamiento matemático más preciso de una distribución de carga eléctrica no suave, podrías echar un vistazo a la teoría de distribuciones. Te permite escribir tales integrales incluso para cargas "lineales" o "superficiales" o "puntuales". En este caso, solo necesitas entender los ejemplos más básicos de distribuciones que son en realidad medidas como en la teoría de la medida de Lebesgue. Si vas en esa dirección, reescribes $$E(\rho)= \int_{\mathbb R^3} \frac{\rho\left(\hat r\right) \hat r}{r^2} \mathrm d \hat r = \int_{\mathbb R^3} \frac{ \hat r}{r^2} \left(\rho(\hat r)\mathrm d \hat r\right) = \int_{\mathbb R^3} \frac{ \hat r}{r^2} \mathrm d \mu = E(\mu)$$ Ahora tu $\mathrm d \mu$ puede ser cualquier distribución de carga que desees siempre que el comportamiento alrededor del origen no sea demasiado patológico.