Calcular la integral de la energía promedio de repulsión mutua de los dos electrones en un átomo similar al helio

Question

Dado que la función de onda para la configuración base $1s^2$ es un producto de $Ne^{-\alpha r_1}, Ne^{-\alpha r_2}$, me gustaría calcular la energía promedio $\langle e^2/4\pi\epsilon_0r_{12}\rangle$ Entonces:

$$\left\langle \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r_{12}} \right\rangle = \int|Ne^{-\alpha r_1}|^2\cdot|Ne^{-\alpha r_1}|^2\frac{1}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|}d^3r_1\,d^3r_2$$

¿Alguna buena sugerencia sobre cómo resolver esta integral?

Answer 1

Puedes usar la expansión de Laplace de la distancia inversa $$\frac{1}{|\vec{r}_1-\vec{r}_2|} =\sum_{\ell=0}^\infty\frac{4\pi}{2\ell+1}\frac{r_<^\ell}{r_>^{\ell+1}} \sum_{m=-\ell}^{+\ell}Y_{\ell m}^*(\theta_1,\phi_1)Y_{\ell m}(\theta_2,\phi_2)$$ donde $r_<$ es el menor de $r_1$ y $r_2$, y $r_>$ es el mayor de $r_1$ y $r_2$.

Inserta esta expansión en tu integral, y obtienes una integral de una suma. Puedes reordenar esto a una suma de integrales. Luego puedes calcular cada una de estas integrales con métodos directos. Por suerte para ti, en la suma las integrales angulares sobre $(\theta_1,\phi_1)$ y $(\theta_2,\phi_2)$ son todas cero, excepto la que tiene $\ell=0$ y $m=0$. Así que llegas a $$\int_0^\infty\int_0^\infty |Ne^{-\alpha r_1}|^2\cdot |Ne^{-\alpha r_2}|^2\ \frac{1}{r_>} \ r_1\ dr_1\ r_2\ dr_2$$