Comprobar/refutar que $\sum _{n=0}^{\infty }a_nb_nx^n<\infty$ para todo $x \in \mathbb{R}$

Question

Sea $R_1>0$ y $R_2=\infty$ el radio de convergencia de las series de potencias $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ y $\sum_{n=0}^\infty b_nx^n$ respectivamente.

Demuestra o proporciona un contraejemplo:

$\sum _{n=0}^{\infty }a_nb_nx^n$ es convergente para cada $x \in \mathbb{R}$

Supongo que esto es una demostración, pero no sé cómo empezarla.

¡Cualquier consejo será increíble!

¡Gracias!

Answer 1

La afirmación es verdadera. Si prefieres utilizar pistas en su lugar, simplemente puedes leer partes de la prueba.

Sea $0<\left|x_{0}\right|.
Sabemos que $\displaystyle{{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x_{0}^{n}}}$ converge, lo que implica $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_{n}x_{0}^{n}=0}$ es decir, existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n\ge N$ tenemos: $$\left|a_{n}x_{0}^{n}\right|<1\;\;\;\left(*\right)$$ Ahora sea $x\in \mathbb R$. entonces: $$\sum_{n=N}^{\infty}\left|a_{n}b_{n}x^{n}\right|=\sum_{n=N}^{\infty}\left|a_{n}b_{n}\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{n}\cdot x_{0}^{n}\right|\underset{\left(*\right)}{\le}\sum_{n=N}^{\infty}\left|b_{n}\left(\frac{x}{x_{0}}\right)^{n}\right|\underset{R_{2}=\infty}{<}\infty$$