Desigualdad de funciones que involucran el logaritmo

Question

Define $f(x) = (1+x)\log(1+x)-x$ para $x>-1$. Quiero demostrar que $$ f(x)\geq \dfrac{x^2}{2+2x/3},\quad x\geq 0. $$ He llegado a la conclusión de que esta desigualdad es verdadera si y solo si $$ 1\geq g(x):= \exp\left(\dfrac{\frac{5}{3}x^2+2x}{\frac{2}{3}x^2+\frac{8}{3}x+2}\right)-x,\quad x\geq 0. $$ Al trazar el gráfico de $g$ sé que $1\geq g (x)$ para todo $x\geq 0$, pero no sé cómo demostrarlo. Derivar $g(x)$ y tratar de ver si está disminuyendo no parece un procedimiento prometedor.

¿Alguna idea de cómo hacerlo?

Answer 1

Creo que es mejor hacer lo siguiente:

Necesitamos probar que: $$(1+x)\ln(1+x)\geq\frac{3x^2}{2x+6}+x$$ o $$\ln(1+x)\geq\frac{5x^2+6x}{2(x+3)(x+1)}.$$ Ahora, sea $g(x)=\ln(1+x)-\frac{5x^2+6x}{2(x+3)(x+1)}.$

Así, $$g'(x)=\frac{x^3}{(x+1)^2(x+3)^2}\geq0,$$ lo cual indica que $$g(x)\geq g(0)=0$$ ¡y listo!

Ahora vemos que $$f(x)\geq\frac{x^2}{2+\frac{2}{3}x}$$ para cualquier $x>-1$.

Answer 2

Tenemos $$f(0)\geq \frac{0^2}{2+2\cdot0/3}$$ y la desigualdad se cumple si tenemos $$f'(x)=\log(1+x)\geq\frac{3x(6+x)}{2(3+x)^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2+2x/3}\right)$$ para $x\geq 0$. Esto es cierto para $x=0$ y luego diferenciando una vez más obtenemos: $$\frac{1}{1+x}\geq\left(\frac{3}{3+x}\right)^3$$ lo cual debería ser verdadero para $x\geq0$.