Sea $f\colon \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}^2$ una función continua inyectiva.
En general, no es cierto que la imagen $f[X]$ sea convexa cuando $X \subseteq \mathbf{R}^2$ es convexo.
¿Existe alguna suposición adicional para garantizar que $f[X]$ sea convexa?
No estoy seguro si este es el nivel de respuesta que estás buscando, pero existe todo un cálculo de operaciones que conservan la convexidad. Stephen Boyd tiene algunas diapositivas de conferencias aquí:
http://stanford.edu/class/ee364a/lectures/functions.pdf
En particular, las funciones afines conservan la convexidad.
Otras buenas fuentes sobre esto serían el libro de Boyd "Optimización Convexa" o el libro "Fundamentos del Análisis Convexo" de Hiriart-Urrut y Lemaréchal.
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