Núcleo de $M\to M[U^{-1}]$ y descomposición primaria de $(0)$

Question

Estoy trabajando en el ejercicio 3.12 de Álgebra Conmutativa de Eisenbud y tengo problemas para entender la pregunta.

Sea $M$ un módulo finitamente generado sobre el anillo noetheriano $R$. Dado un conjunto multiplicativamente cerrado $U \subset R$, muestra que la intersección de los componentes primarios de $0$ en $M$ correspondientes a aquellos primos de Ass $M$ que no pertenecen a $U$ es el núcleo del mapa de localización $M\to M[U^{-1}]$, y por lo tanto es independiente de la descomposición primaria elegida.

Solo estoy buscando una pista para empezar. Además, si tienes el libro, ¿cuáles son los teoremas relevantes para resolver esta pregunta?

Answer 1

Para $s\in U$ y $x\in M$ tenemos $sx=0\implies sx\in Q$, donde $Q$ es un submódulo primario de $M$ que aparece en una descomposición primaria de $(0)$ y $r_M(Q)\cap U=\emptyset$. Concluimos que $x\in Q.

Para la conversa, $x\in\cap Q_j$ con $r_M(Q_j)\cap U=\emptyset$. Por otro lado, para algún $Q_i$ tal que $r_M(Q_i)\cap U\ne\emptyset$ obtenemos un $s_i\in r_M(Q_i)\cap U$, así que $s_i^{k_i}M\subseteq Q_i$. En particular, $s_i^{k_i}x\in Q_i$. Ahora encontramos un $s\in U$ tal que $sx=0$.