Significado del mapa exponencial

Question

He estado estudiando geometría diferencial usando el libro de Do Carmo. Existe la noción de mapa exponencial, pero no entiendo por qué se llama mapa "exponencial". ¿Cómo se relaciona con nuestra noción común de exponenciación?

Leí en el libro El camino hacia la realidad (de R. Penrose) que está relacionado con la exponenciación al hacer elementos de grupo de Lie (finitos) a partir de elementos de álgebra de Lie. Parece que se utiliza el teorema de Taylor en una variedad, de modo que tenemos, por ejemplo, la siguiente ecuación que explica por qué es así.

$f(t) = f(0) + f'(0)t + \frac{1}{2!}f''(0) t^2+\cdots = (1+t\frac{d}{dx}+\frac{1}{2!}t^2\frac{d^2}{dx^2}+\cdots)f(x)|_{x=0} = e^{t\frac{d}{dx}}f(x)|_{x=0}$.

El operador diferencial se puede pensar como un campo vectorial en una variedad, y es cómo se representan los elementos de álgebra de Lie (que son vectores, en una variedad de grupo (grupo de Lie), en un espacio tangente en el elemento identidad). Si entendí correctamente, la verdad es que este es exactamente el mapa exponencial que envía un vector en un espacio tangente dentro de la variedad de tal manera que se convierte en el punto final de una geodésica (determinada por el vector) con la misma longitud.

¿Por qué es válida la expansión de Taylor anterior en una variedad? ¿Por qué el mapa exponencial es lo mismo que la exponenciación?

Answer 1

La idea de una exponencial es la acumulación continua de pequeñas acciones. Supongamos que empiezas con un objeto $p$, realizas una acción en él $v$, y luego añades el resultado de nuevo al objeto original. ¿Qué pasa si en lugar de eso tomas la mitad de acción pero lo haces dos veces? ¿Qué pasa si tomas la décima parte de la acción pero lo haces diez veces? La función exponencial intenta capturar esta idea: $$\exp (\text{acción}) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\text{identidad} + \frac{\text{acción}}{n}\right)^n.$$

En una variedad diferenciable no hay adiciones, pero podemos considerar esta acción como empujar un punto una corta distancia en la dirección del vector tangente, $$``\left(\text{identidad} + \frac{\text{v}}{n}\right)"p := \text{empujar }p\text{ por} \frac{1}{n} \text{ unidades de distancia en la dirección }v \text{.}"$$

Haciendo esto una y otra vez, tenemos $``\left(\text{identidad} + \frac{\text{v}}{n}\right)^n"p$ significa empujar $p$ por $\frac{1}{n}$ unidades de distancia en la dirección $v$, luego empujarlo de nuevo en la misma dirección que ya empujaste, y seguir haciéndolo hasta que lo hayas empujado $n$ veces.

Mientras $\frac{1}{n}$ sea lo suficientemente pequeño como para que tenga sentido empujar puntos y vectores en una dirección tangente, lo que terminamos haciendo es empujar el punto $p$ un total de $1$ unidad de distancia a lo largo de la geodésica generada por $v$.

Answer 2

Considera lo siguiente:

Sea $a\in\mathbb{R}$, y define un campo vectorial suave $X$ en $\mathbb{R}_+$, por $X(p)=ap$. Observa que $X$ es invariante a la izquierda, al pensar en $\mathbb{R}_+$ como un grupo de Lie. Ahora sea $\gamma$ una trayectoria de $X$, con $\gamma(0)=1$. Al resolver una EDO simple, se verifica que $\gamma(1)=e^a$, por lo tanto el término "mapa exponencial" para grupos de Lie coincide con lo que conocemos como mapa exponencial en $\mathbb{R}$.