Mostrar que para cualquier $a > 1/2$, $Y_n = s_n^{-2}(\log{s_n^2})^{-a} \sum_{k = 1}^n X_k$ converge a cero casi seguramente.

Question

Sea $\{X_n\}_{n\geq 1}$ una secuencia de variables aleatorias independientes tales que $E(X_n) = 0$, $E(X_n^2) = \sigma_n^2$, y sea $s_n^2 = \sum_{k = 1}^n \sigma_k^2 \to \infty$. Demuestra que para cualquier $a > 1/2$, $Y_n = s_n^{-2}(\log{s_n^2})^{-a} \sum_{k = 1}^n X_k$ converge a cero casi seguramente.

Sé que esto es equivalente a demostrar que $\sum_{n = 1}^\infty P(|Y_n| > \epsilon) < \infty$, y esta suma se puede estimar mediante la desigualdad de Markov, pero no logro obtener cotas agradables.

También he intentado usar resultados de Kronecker y Levy para ver que es suficiente mostrar que $\sum_{n = 1}^\infty \operatorname{var}(Z_n) < \infty$, donde $Z_n = X_n s_n^{-2}(\log{s_n}^2)^{-a}$, pero esto tampoco funciona.

Answer 1

Usa tus notaciones. Para $ a>\frac12$, denota \begin{equation*} Z_n=\frac{X_n}{s_n(\log s_n^2)^{a}} \end{equation*} entonces $\mathsf{E}Z_n=0 $ y \begin{align*} \mathsf{Var}Z_n&=\frac{\mathsf{Var}X_n}{s_n^2(\log s_n^2)^{2a}} =\frac{s_n^2-s_{n-1}^2}{s_n^2(\log s_n^2)^{2a}} \le \int_{s_{n-1}^2}^{s_n^2}\frac{\mathrm{d} x}{x(\log x)^{2a}}\\ &=\frac{1}{(2a-1)(\log s_{n-1}^2)^{2a-1}}-\frac1{(2a-1)(\log s_{n}^2)^{2a-1}}.\quad (s_0=0) \end{align*} Por lo tanto \begin{equation*} \sum_n\mathsf{Var}Z_n < \infty,\quad\text{y}\quad \sum_n \frac{X_n}{s_n(\log s_n^2)^{a}} \quad \text{convergen casi seguramente}. \end{equation*} Además, por el Lema de Kronecker, \begin{equation} \frac{\sum_{k=1}^n X_k}{s_n(\log s_n^2)^{a}}\stackrel{\text{c.s.}}\longrightarrow 0. \end{equation}