De la integral definida, $\int_0^{2\pi}\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2(\theta)+a^2\sin^2(\theta))}}\cos^2(\theta) d\theta$

Question

Me podrias ayudar a encontrar la siguiente integral definida, con $a$ $b$ constantes? Gracias! $$\int_0^{2\pi}\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2(\theta)+a^2\sin^2(\theta))}}\cos^2(\theta) d\theta$$

Answer 1

Tener en cuenta que: $$I(a,b)=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}\,d\theta = 4|b|\cdot E\left(\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\right)\tag{1}$$ donde $E$ es la integral elíptica completa de la segunda clase, la satisfacción de: $$\frac{dE(k)}{dk}=\frac{E(k)-K(k)}{k},\tag{2}$$ a continuación, considere la posibilidad de que la integral dada es igual a: $$ a\cdot\frac{\partial}{\partial b}I(a,b).\tag{3}$$