Encuentra un triángulo primitivo pitagórico derecho tal que la diferencia de los dos lados más cortos sea 1 y cada lado sea al menos 100.

Question

Se me pide encontrar un trío pitagórico primitivo $(x, y, z)$ tal que $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ y $|x-y|=1$, y $x\geq100$ y $y\geq 100$.

Sé que el resultado debería ser x = 119, y = 120 y z = 169, pero no sé cómo "encontrarlo" sistemáticamente. Por el teorema, podemos tener

$x=r^{2}-s^{2}$

$y=2rs$

$z=r^{2}+s^{2}$

Estoy atascado.

PD: Encontré esta pregunta demostrar que hay infinitos tríos pitagóricos primitivos $x,y,z$ tales que $y=x+1$ Pero ¿de dónde proviene la pista?

Answer 1

Básicamente buscas soluciones enteras para la ecuación $$2rs-(r^2-s^2)=1$$ que es equivalente a $$(r+s)^2-2r^2=1$$ lo que puede escribirse como $$a^2-2b^2=1$$

Esta ecuación de Pell tiene solución fundamental $a=3\ ,\ b=2$ dando $r=2$ y $s=1$ y las otras soluciones se pueden encontrar multiplicando sucesivamente la matriz $$\pmatrix{ 3 & 4 \\ 2 & 3}$$ con la solución actual

Answer 2

Puede generar triples pitagóricos donde $B-A=\pm1$ en secuencia con un triple semilla: $T_0=(0,0,1)$ utilizando la siguiente fórmula: $$A_{n+1}=3A_n+2C_n+1\qquad B_{n+1}=3A_n+2C_n+2\qquad C_{n+1}=4A_n+3C_n+2$$

Por ejemplo, genera lo siguiente $$T_1=(3,4,5)\qquad T_2=(20,21,29)\qquad T_3=(119,120,169)\qquad T_4=(697,696,985)$$ Otra forma de generarlos directamente es usando números de Pell que alimentarán la fórmula de Euclides

$$P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}$$

Esta función de Pell genera la serie $1, 2, 5, 12, 29, 70, 169 ...$ y encaja perfectamente con los pares $(r,s)$ que generan $T_1, T_2, T_3 ...$ mostrados anteriormente. Puedes encontrarlos usando $\quad r_x=P_{x+1}\quad s_x=P_x\quad$ para obtener los siguientes pares (disculpa usar la letra P para describir los pares en lugar de los números de Pell individuales):

$$P_1=(2,1)\quad P_2=(5,2)\quad P_3=(12,5)\quad P_4=(29,12)\quad P_5=(70,29)\quad P_6=(169,70)\quad ...$$

Una vez que tengas estos, los insertas en la fórmula de Euclides:

$$A=r^2-s^2\qquad B=2rs\qquad C=r^2+s^2$$

y como quieres que todos los lados sean mayores que $100$, solo necesitas comenzar con el número de Pell $3$. Espero que esto ayude.

Las fórmulas finales lucen así:

$$\begin{equation} r_n= \frac{(1 + \sqrt{2})^{n+1} - (1 - \sqrt{2})^{n+1}}{2\sqrt{2}}\qquad \qquad\qquad s_n= \frac{(1 + \sqrt{2})^n - (1 - \sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}} \end{equation}$$ Por ejemplo

${\small \begin{align*} &\frac{(1 + \sqrt{2})^{2} - (1 - \sqrt{2})^{2}}{2\sqrt{2}}=2 & \frac{(1 + \sqrt{2})^1 - (1 - \sqrt{2})^1}{2\sqrt{2}}=1,\space & F(2,1)=(3,4,5)\\ & \frac{(1 + \sqrt{2})^{3} - (1 - \sqrt{2})^{3}}{2\sqrt{2}}=5 & \frac{(1 + \sqrt{2})^2 - (1 - \sqrt{2})^2}{2\sqrt{2}}=2,\space & F(5,2)=(21,20,29)\\ & \frac{(1 + \sqrt{2})^{4} - (1 - \sqrt{2})^{4}}{2\sqrt{2}}=12 & \frac{(1 + \sqrt{2})^3 - (1 - \sqrt{2})^3}{2\sqrt{2}}=5,\space & F(12,5)=(119,120,169)\\ &\frac{(1 + \sqrt{2})^{5} - (1 - \sqrt{2})^{5}}{2\sqrt{2}}=29 & \frac{(1 + \sqrt{2})^4 - (1 - \sqrt{2})^4}{2\sqrt{2}}=12,\space & F(29,12)=(697,696,985) \end{align*} }$

Answer 3

Tienes $2x^2 + 2x +1 = z^2$, o que $(2x+1)^2 - 2z^2 =-1$.

¿Estás familiarizado con las ecuaciones de Pell para continuar desde aquí?