Existencia de una función que satisface las condiciones dadas

Question

Estaba revisando el tema de $Function$, su acotación, continuidad, etc. Tuve un problema.

¿Existe una función definida en el intervalo cerrado $[a,b]$ que sea....

1. acotada;

2. tome sus valores máximo y mínimo;

3. tome todos sus valores entre el máximo y el mínimo;

Entonces, ¿podemos concluir que esta función es continua en algunos puntos o subintervalos en $[a,b]$?

Answer 1

La función a continuación satisface las tres condiciones anteriores, pero es discontinua en cada punto en $[-1,1]$

$f(x)=\begin{cases} 1,&\text{si $x = 0$}\\ x,&\text{si x es racional, $x \neq 0$, $x\neq 1$}\\ -x,&\text{si x es racional, $x \neq 0$, $x\neq 1$, $x\neq -1$} \\ 0,&\text{si x = 1} \end{cases}$

Es imposible dibujar el gráfico de la función $y = f(x)$, pero el bosquejo a continuación da una idea de su comportamiento.

Por lo tanto, la respuesta es no.

Puede encontrar este ejemplo en ejemplos contradictorios en cálculo.

Answer 2

Tomemos $f:[0,1]\to[0,1]$ tal que $f(x) = x$ si $x$ es racional y $f(x)=1-x$ si $x$ es irracional. Bueno, está bien, eso es continuo en $x=\frac{1}{2}$, así que simplemente establece $f(0) = \frac{1}{2}$ y $f(1/2) = 0$ y usa la regla que di arriba para todos los demás valores de $x$. :)