Pregunta sobre $\mathscr L^\infty$ y un ejercicio en el libro de texto de Cohn

Question

Estoy estudiando la Teoría de la Medida de Donald Cohn. En el Capítulo 3, Ejercicio 7, el autor pide hacer el siguiente ejercicio:

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Sea $(X, \mathcal A , \mu)$ un espacio de medida finita, y sea $f$ una función real o compleja medible en $\mathcal A$ en $X$.

Demuestra que $f$ pertenece a $\mathscr L ^ \infty$ si y solo si

1. $f$ pertenece a $\mathscr L^p (X,\mathscr A , \mu)$ para cada $p \in [1, \infty )$ y
2. $\sup \{ \lVert f \rVert _p : 1\le p < +\infty \}$ es finito.

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Cohn define $\mathscr L^p$ para $1\le p < \infty$ de la manera habitual. Sin embargo, $\mathscr L ^\infty$ es la colección de todas las funciones medibles acotadas (esto es diferente de lo que hacen Wikipedia y otros libros de texto) y $\lVert f \rVert _\infty$ se define como el ínfimo de aquellos números no negativos $M$ tales que $\{ x\in X : |f(x)| > M \}$ es localmente nulo. (Ver la definición de localmente nulo aquí)

He demostrado con éxito la parte de "solo si". Para probar la parte de "si", necesito demostrar que si cualquier función medible en un espacio de medida finita que cumple las condiciones $1$ y $2$ de la pregunta entonces debe ser acotada.

Sin embargo, tengo un contraejemplo. Consideremos $X= (0,1]$, $\mathscr A$ es el sigma álgebra de Borel en $X$ y $\lambda$ es la medida de Lebesgue en $X$. Considera la función $f$ en $X$ dada por

$$f(x)= \begin{cases} n & \text{if } x=m/n \text{ con } \gcd(m,n)=1 \newline 0 & \text {en otro caso} \end{cases}$$

Observa que $f$ es cero casi en todas partes y $f$ es medible porque $f= \sum_{p/q \in \mathbb Q \cap (0,1]} q\chi_{\{ p/q\}}$ (y por lo tanto es límite de funciones simples medibles). Pero esta función cumple ambas condiciones 1 y 2 sin embargo no está acotada.

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¿Es correcto mi contraejemplo? Si lo es, ¿se puede ajustar la hipótesis de la pregunta para que la afirmación sea correcta?

Answer 1

Comprobemos si todos estamos en la misma página (literalmente).

De la página 92 de Donald L. Cohn, Teoría de la Medida (segunda edición 2013):

Sea $\mathscr{L}^\infty(X, \mathscr{A}, \mu, \mathbb{R})$ el conjunto de todas las funciones reales acotadas medibles por $\mathscr{A}$ en $X,$ y sea $\mathscr{L}^\infty(X, \mathscr{A}, \mu, \mathbb{C})$ el conjunto de todas las funciones complejas acotadas medibles por $\mathscr{A}$ en $X.$ [$\ldots$] En discusiones válidas para funciones tanto reales como complejas a menudo usaremos $\mathscr{L}^p(X, \mathscr{A}, \mu)$ para representar tanto $\mathscr{L}^p(X, \mathscr{A}, \mu, \mathbb{R})$ como $\mathscr{L}^p(X, \mathscr{A}, \mu, \mathbb{C}).$

Nota al pie de la misma página:

Algunos autores definen $\mathscr{L}^\infty(X, \mathscr{A}, \mu, \mathbb{R})$ y $\mathscr{L}^\infty(X, \mathscr{A}, \mu, \mathbb{C})$ como funciones $f$ que son esencialmente acotadas, lo que significa que existe un número no negativo $M$ tal que $\{x \in X : |f(x)| > M\}$ es localmente $\mu$-nulo [$\ldots$]. Para la mayoría de los propósitos, no importa qué definición de $\mathscr{L}^\infty$ se utilice. [$\ldots$]

Texto principal, continuado de la página 92 a la página 93:

Podemos definir $\|\cdot\|_p$ en el caso en que $p = +\infty$ como tomando $\|f\|_\infty$ como el infimo de aquellos números no negativos $M$ tal que $\{x \in X : |f(x)| > M\}$ es localmente $\mu$-nulo. Nótese que si $f \in \mathscr{L}^p(X, \mathscr{A}, \mu),$ entonces $\{x \in X : |f(x)| > \|f\|_\infty\}$ es localmente $\mu$-nulo, ya que si $\{M_n\}$ es una secuencia no creciente de números reales tal que $\|f\|_\infty = \lim_nM_n$ y tal que para cada $n$ el conjunto $\{x \in X : |f(x)| > M_n\}$ es localmente $\mu$-nulo, entonces el conjunto $\{x \in X : |f(x)| > \|f\|_\infty\}$ es la unión de los conjuntos $\{x \in X : |f(x)| > M_n\}$ y por lo tanto es localmente $\mu$-nulo. Así que $\|f\|_\infty$ es no solo el infimo del conjunto de números $M$ tales que $\{x \in X : |f(x)| > M\}$ es localmente $\mu$-nulo, sino que también es uno de esos números.

Ejercicio 3.3.7, en la página 98:

Sea $(X, \mathscr{A}, \mu)$ un espacio de medida finita, y sea $f$ una función real o compleja medible por $\mathscr{A}$ en $X.$

• (a) Demuestra que $f$ pertenece a $\mathscr{L}^\infty(X, \mathscr{A}, \mu)$ si y solo si:

  • (i) $f$ pertenece a $\mathscr{L}^p(X, \mathscr{A}, \mu)$ para cada $p \in [1, +\infty),$ y

  • (ii) $\sup\{\|f\|_p : 1 \leq p < +\infty\}$ es finito.

• (b) Demuestra que si estas condiciones se cumplen, entonces $\|f\|_\infty = \lim_{p \to +\infty}\|f\|_p.$

[No sé cómo anidar listas correctamente en un bloque de citas en Markdown. Siéntete libre de corregir mi formato.]

No habría nada malo con el ejercicio si $\mathscr{L}^\infty(X, \mathscr{A}, \mu)$ se definiera como en la nota al pie, pero se define de manera diferente en el texto principal, y según esa definición, el contraejemplo del OP es válido.