Ideales de $\mathscr{I}(V) = \text{Hom}(V,V)$

Question

He estado intentando este problema notoriamente difícil durante bastante tiempo pero no he hecho ningún progreso.

Sea $\mathscr{I}(V)$ el conjunto de todos los homomorfismos $f: V \to V$. Es decir, $\mathscr{I}(V) = \text{Hom}(V,V)$.

• Supongamos que $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $K$ y $\text{dim}_{K}(V)>1$, entonces demuestra que $\mathscr{I}(V)$ no tiene ideales bilaterales propios. Esto significa que tenemos que demostrar que $\mathscr{I}(V)$ no tiene ideales bilaterales distintos de $(0)$ y $\mathscr{I}(V)$. Además, ¿permanece cierta la conclusión del problema anterior si $V$ es de dimensión infinita?

Además, dado que los campos son las estructuras algebraicas ubicuas para tener ideales triviales, intenté pensar en demostrar que $\mathscr{I}(V)$ es un campo. Sin embargo, no he dado un solo paso adelante en términos de este problema.

Answer 1

Imagina que tienes un mapa no nulo $\phi:V \to V$, digamos con $V$ de dimensión finita. Ahora pregúntate qué otros mapas puedes obtener al pre y postcomponer con otros endomorfismos, y luego tomar combinaciones lineales.

Una vez que entiendas bien el caso de dimensión finita, estarás listo para el caso de dimensión infinita. (¡La pista de Arturo jugará un papel importante!)

Nota: Para prepararte para el caso de dimensión infinita, será mejor intentar probar simplicidad en el caso de dimensión finita usando argumentos con endomorfismos, en lugar de cambiar al lenguaje de matrices y depender de manipulaciones matriciales. (Al menos, si haces lo último, intenta traducir lo que has hecho de regreso al lenguaje de endomorfismos y reinterpretar el argumento en ese lenguaje.)

Answer 2

La primera parte, para espacios de dimensión finita, consiste en mostrar que el anillo de matrices $n \times n$ con coeficientes en $K$ es simple. Esto está cubierto en esta pregunta y respuesta anterior.

Para espacios de dimensión infinita, tengo una pista de dos palabras: soporte finito.

Estás incorrecto en tu párrafo final: $\mathscr{I}(V)$ no puede ser un campo para $n\gt 1$, ya que siempre tiene idempotentes no triviales (proyecciones en subespacios propios no triviales), elementos nilpotentes no nulos (el operador de desplazamiento a la izquierda en una base) y divisores de cero (cualquier mapa no invertible es un divisor de cero: compónlo con una proyección adecuada en un complemento de la imagen).