$\sqrt{144_r} = 12_r$
¿Qué es r?
El método que utilicé es:
$\sqrt{ ((1 × r^2) + (4 × r^1) + (4 × r^0))} = ((1 × r^1) + (2 × r^0))$ y traté de resolver esta ecuación pero no llegué a ninguna parte.
La solución a esta pregunta según el libro es $r\geq 5$.
Su intento es un buen comienzo, ¡y de hecho casi lo logras!
Como has escrito, manipulamos el LHS: $$\begin{align*} \sqrt{(144)_r}&=\sqrt{r^2+4r+4} \\ &= \sqrt{(r+2)^2} \\&= (r+2) \\&=(12)_r \end{align*}$$ Lo cual es el RHS
Entonces la ecuación es verdadera para (casi) cualquier $r$. Pero observa que en la base $r$ podemos expresar nuestro número $(144)_r$ con un dígito de $4$ (y de hecho este es el dígito más alto que encontramos en este problema en base $r$), así que $r$ debe ser mayor o igual a 5.
Simplifica la expresión primero (recuerda que $r^0 =1$): $$\sqrt{r^2+4r+4}_r = (r+2)_r$$ $$\sqrt{(r+2)^2}_r = (r+2)_r$$ $$(r+2)_r = (r+2)_r$$
¿Qué hay de malo en esta afirmación: "Esta igualdad es cierta cuando $r ≥ -2$, porque la raíz cuadrada de un número real es imaginaria. Por lo tanto, es verdadera para todas las bases (positivas)"?
Pista: Mira los dígitos del número en la base $r$. Por ejemplo, en base $2$, ¿podemos tener el número $1323$?
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