Esta es, de hecho, una pregunta muy buena y natural, ya que uno suele aprender que hay un espectro completo de espacios $L^p$ pero luego en la práctica solo parece surgir $L^2$ (y, en menor medida, $L^1$ y $L^\infty$). ¿Por qué deberíamos preocuparnos por $L^{\frac{3}{2}}$? Por supuesto, esta pregunta tiene muchas posibles respuestas, y encuentro que una convincente proviene del contexto del análisis no lineal.
La observación básica es el hecho de que $$\lVert u^k\rVert_{L^p}=\lVert u\rVert_{L^{kp}}^k.$$ Entonces, al tratar con problemas no lineales, podemos esperar tener que jugar algún truco con el índice $p$. No podremos permanecer todo el tiempo en el cómodo espacio $L^2$.
Para un ejemplo de esto, consideremos la siguiente EDP: $$\tag{1} -\Delta u (x)= u^2(x), \qquad x\in \mathbb{R}^3. $$ El problema lineal inhomogéneo asociado $$\tag{2} -\Delta u= h $$ puede resolverse de manera muy satisfactoria en el entorno funcional del espacio $L^2$ a través de la transformada de Fourier: asumiendo que todo está en $L^2(\mathbb{R}^3)$, podemos transformar término a término en (2) mediante la transformada de Fourier y escribir $\hat{u}(\xi)=\lvert\xi\rvert^{-2}\hat{h}$, que luego puede ser anti-transformada de nuevo a $$u(x)= \left(\lvert 4\pi y\rvert^{-1} \ast h\right) (x)\stackrel{\text{def}}{=}(-\Delta)^{-1} h.$$ (Cabe destacar que $\lvert 4\pi y\rvert^{-1}$ es precisamente la solución fundamental del operador Laplaciano). Estableciendo $h=u^2$, podemos reformular la ecuación no lineal (1) de la siguiente manera: $$\tag{3} u=(-\Delta)^{-1}\left( u^2\right),$$ que ahora es una ecuación de tipo punto fijo. Queremos abordarlo a través del principio del mapeo contractivo, demostrando que el mapeo $$\Phi(u)=(-\Delta)^{-1}\left( u^2\right)$$ es contractivo en algún espacio métrico completo que se especificará más adelante. Para hacerlo, necesitamos algunas estimaciones sobre $\Phi$ y estas pueden ser proporcionadas por la desigualdad de Hardy-Littlewood-Sobolev, que en nuestro caso ($\alpha=2,\ n=3$) se lee $$\lVert (-\Delta)^{-1} f\rVert_{L^q(\mathbb{R}^3)} \le C \lVert f\rVert_{L^p(\mathbb{R}^3)}, \qquad 2+\frac{3}{q}=\frac{3}{p}. $$ (La condición en $p$ y $q$ puede ser recuperada a través del argumento de escala, observando que ambos lados de esta desigualdad son homogéneos con respecto a la escala $f(x)\mapsto f(\lambda x)$, y por lo tanto los grados de homogeneidad deben coincidir). Con $f=u^2$, esta desigualdad se convierte en $$\tag{4} \lVert \Phi(u)\rVert_{L^q(\mathbb{R}^3)}\le C \lVert u\rVert_{L^{2p}(\mathbb{R}^3)}^2.$$ Ahora está claro que nuestras manos están atadas: la única forma de conseguir algo significativo es tener $q=2p$, lo que significa que $q=\frac{3}{2}$. Por lo tanto, el entorno funcional correcto para este problema es el espacio $L^\frac{3}{2}(\mathbb{R}^3)$.
De hecho, si permitimos que $B_R\subset L^{\frac{3}{2}}(\mathbb{R}^3)$ denote la bola cerrada de radio $R$, vemos a partir de (4) que $\Phi(B_R)\subset B_R$ si $R< 1/C$. Luego, nuevamente por (4), vemos que $$ \begin{split} \lVert \Phi(u)-\Phi(v)\rVert_{L^{\frac{3}{2}}(\mathbb{R}^3)}&\le C \lVert u^2-v^2\rVert_{L^{\frac{3}{4}}(\mathbb{R}^3)} \\ &=C\lVert (u+v)(u-v)\rVert_{L^{\frac{3}{4}}(\mathbb{R}^3)} \\ &\le C \lVert u+v\rVert_{L^{\frac{3}{2}}(\mathbb{R}^3)}\lVert u-v\rVert_{L^{\frac{3}{2}}(\mathbb{R}^3)} \\ &\le 2RC\lVert u-v\rVert_{L^{\frac{3}{2}}(\mathbb{R}^3)}. \end{split} $$ Esto significa que el mapeo $\Phi\colon B_R\to B_R$ es contractivo si $R<\frac{1}{2 C}$.
Como observación final, notemos que en realidad hemos demostrado dos hechos:
- la existencia de una solución única para (1) en vecindarios pequeños del origen en el espacio $L^\frac{3}{2}(\mathbb{R}^3)$;
- el hecho de que la secuencia $$\begin{cases} u_{n+1}=(-\Delta)^{-1}\left( u_n^2 \right) \\ \lVert u_0\rVert_{L^{\frac{3}{2}}(\mathbb{R}^3)} \le R \end{cases}$$ converge en la topología de $L^{\frac{3}{2}}(\mathbb{R}^3)$ a la solución de (1), sin importar qué condición inicial $u_0$ elijamos (siempre que $R$ sea suficientemente pequeño).
El hecho 2. justifica también la necesidad de abordar problemas de convergencia en espacios $L^p$ con $p\ne 2.
