Resolver $ \vec{x^{'}} = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\vec{x}$, $ \vec{x} (0) = \begin{bmatrix}x_0 \\ y_0\end{bmatrix}$

Question

Resolver

$$ \vec{x^{'}} = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\vec{x},$$ $$ \vec{x} (0) = \begin{bmatrix}x_0 \\ y_0\end{bmatrix}$$

La pregunta es codificar la solución como un flujo $\phi: $${\mathbb R} \times {\mathbb R}^2 \rightarrow {\mathbb R}^2 $

Mi enfoque es cuando primero separo la matriz en dos $$ A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},$$ $$ B = \begin{bmatrix}0 & 2 \\ 2 & 0\end{bmatrix}$$

Para B encontré que para matrices pares como $B^2, B^4...B^{2n}$ tienen entradas $2^{2n}$ en la esquina superior izquierda y en la esquina inferior derecha y para matrices impares como $B^1, B^3...B^{2n-1}$ tienen entradas $2^{2n-1}$ en la esquina superior derecha y en la esquina inferior izquierda ...sin embargo...no sé cómo representarlas...¿podría alguien ayudarme con eso?

Answer 1

Use $$\overrightarrow{x}(t) =e^{Mt}\overrightarrow{x}(0) $$ so that $$ \overrightarrow{x}'(t) =Me^{Mt}\overrightarrow{x}(0)$$ where $M\in M_2({\bf R})$

${\bf Solución}$ : $$ M =\left( \begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}\right)$$

Diagonaliza $M$ : Eigenvalores $3,\ -1$. Entonces $$ v=(1,1)^T,\ w=(1,-1)^T$$ para que $$ M =P\left( \begin{matrix}3&0\\0&-1\end{matrix}\right) P^{-1},\ P=[v\ w]$$

Por lo tanto $$ e^{tM} = P\left( \begin{matrix}e^{3t}&0\\0& e^{-t}\end{matrix}\right) P^{-1}$$

${\bf Referencia}$ : 10.3 solución por diagonalización en Matemáticas Avanzadas de Ingeniería - 3ra edición - (Zill y Cullen)

Answer 2

Pista: Intenta descomponer $A=P^T\Lambda P$ donde $\Lambda$ es una matriz diagonal y luego deja que $y=Px$.