¿Cómo es que, al integrar una exponencial compleja de $ -\infty $ a $ \infty $, obtenemos una función delta escalada? $$ \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i k x} \; dk & = 2 \pi \delta \left ( x \right ) \end{align} $$ Específicamente, ¿por qué decimos que la integral converge para $ x \neq 0 $ a $ 0 $? ¿No sigue oscilando simplemente?
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La integral no debe entenderse en el espacio de funciones; debe entenderse en el espacio de distribuciones.
Si escribo $[f(x)]$ cuando quiero ver $f(x)$ como una distribución en lugar de una función, entonces esta integral dice
$$ \int_{-\infty}^{\infty} [e^{ikx}] \, \mathrm{d}k = 2 \pi \delta(x) $$
(nota que $\delta(x)$ es una distribución, no una función, así que no necesito poner corchetes alrededor)
Dos distribuciones son iguales si y solo si tienen el mismo valor al convolucionarse con funciones de prueba. La ecuación anterior afirma, para cada función de prueba $f(x)$, que tienes
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} [e^{ikx}] \, \mathrm{d}k \right) f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} 2 \pi \delta(x)f(x) \, \mathrm{d} x$$
Qué son exactamente las funciones de prueba puede variar con el contexto; en este caso probablemente se refieren a las funciones que decrecen rápidamente (también conocidas como funciones de Schwartz).
Si mal no recuerdo, las distribuciones provenientes de funciones de dos variables satisfacen
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\left( \int_{-\infty}^{\infty} [g(x,y)] \, \mathrm{d}y \right)f(x) \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y) f(x)\, \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y $$
(nota el cambio de orden de las variables de integración)
Consecuentemente, la ecuación anterior afirma
$$ \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx} f(x) \, \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}k =2 \pi f(0)$$
Nota, en particular, que la integral interna es la de funciones ordinarias, y el integrando es integrable.
Siguiendo el comentario de Sylvain, busque las fórmulas para transformada de Fourier $F(w)=\int f(t) e^{-iwt}{\rm {d}}t$ y la transformada inversa $ f(t)=1/{2\pi}\int F(w) e^{iwt} { \rm {d}}w$ y combínelas para escribir \begin{equation} \begin{split} F(\hat w)=\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\hat{w}t}\rm {d}t & = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(w) e^{iwt} {\rm {d}} w\, e^{-i\hat{w}t}\,\rm {d}t \\ & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(w)\,{\rm {d}} w\int_{-\infty}^\infty e^{iwt} \, e^{-i\hat{w}t}\,\rm {d}t\\ & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(w)\,{\rm {d}} w\int_{-\infty}^\infty e^{i(w-\hat{w})t}\,\rm {d}t \end{split} \end{equation> Conociendo la definición de la función delta $f(y)=\int f(x) \delta(x-y) {\rm d} x$ se puede ver que en este caso $$ F(\hat w) = \int_{-\infty}^{\infty} F(w) \delta (w-\hat w) {\rm d}w $$ y así identificando la integral derecha con $$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i(w-\hat{w})t}\,\rm {d}t= \delta (w- \hat w) $$
SlothQuanta
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La respuesta de @Statics ataca con el argumento de que "si piensas que la Transformada de Fourier es correcta, entonces deberías aceptar esta definición de la Función Delta de Dirac". Pero ¿por qué la Transformada de Fourier funciona en primer lugar? Es porque tenemos esta definición de Delta de Dirac. por lo que el argumento usando FT no me parece convincente.
La explicación de la distribución es correcta. Y la función delta tiene sentido bajo un signo integral. Podemos llegar a esta fórmula construyendo una secuencia de distribución $\delta_n(x)$, tal que: $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int^\infty_{-\infty}\delta_n(x-a)f(x)dx = f(a)$$ Entonces el límite de la secuencia es $\delta(x)$, es decir, $$\lim_{n\rightarrow\infty}\delta_n(x) = \delta(x)$$
Hay muchas formas de construir $\delta_n(x-a)$. Un ejemplo común es: $$\delta_n(x-a)=\sqrt{\frac{n}{\pi}}e^{-n(x-a)^2}$$ $$=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}e^{-\frac{k^2}{4n}}e^{i(x-a)k}dk$$
Como puedes ver, la integral converge a $$\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}e^{i(x-a)k}dk$$ cuando $n\rightarrow\infty$. E integrar $f(x)$ con una distribución gaussiana dará el valor $f(a)$ (para una prueba rigurosa, consulta libros de análisis funcional). Por lo tanto, podemos usar de manera segura $$\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}e^{i(x-a)k}dk=\delta(x-a)$$
Este es un bosquejo de la prueba, y definitivamente no es riguroso. Pero con suerte, puedes captar algo de su esencia.
