El conjunto de todos los puntos límite está cerrado

Question

Sea $E'$ el conjunto de todos los puntos límite de un conjunto $E$. Demuestra que $E'$ es cerrado.

Estoy estudiando Rudin, y este es un problema parcial del problema 6 del capítulo 2. Me parece difícil, así que quiero verificar si mi argumento es válido.

Mi argumento:

Mostraré que $E'^c$ es abierto.

Toma $x\in E'^c$. Entonces implica que $x$ no es un punto límite de $E$.

(un punto $p$ es un punto límite de un conjunto $A$ si todo entorno de $p$ contiene un punto $q\in A$ tal que $p\not= q$.)

Entonces existe un entorno abierto $U$ tal que $x\in U$ y $(U\setminus \{x\})\cap E =\varnothing$.

Dado que $U\setminus \{x\}$ también es abierto, y no interseca con $E$, ninguno de los elementos de $U\setminus \{x\}$ es un punto límite de $E$. es decir, $(U\setminus \{x\})\cap E'=\varnothing.$

Dado que $x\in E'^c$, tenemos $U\cap E'=\varnothing$, por lo tanto $U\subset E'^c$. Por lo tanto, cada punto $x\in E'^c$ es un punto interior de $E'^c$, por lo que se deduce que $E'^c$ es abierto.

PD: ¿Es posible mostrarlo directamente? es decir, ¿mostrar que cada punto límite de $E'$ es un punto de $E'$? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

Tu prueba es correcta. Si quieres demostrarlo directamente, entonces deja que $\ell$ sea un punto de acumulación de $E'$ y deja que $U$ sea cualquier vecindario de $\ell$. Para mostrar que $\ell$ también es un punto de acumulación de $E$, necesitas encontrar un elemento de $E$ dentro de $U \smallsetminus \{\ell\}$. Bueno, primero, por definición de $\ell$ como un punto de acumulación de $E'$, hay un elemento $\ell^\ast$ de $E'$ dentro de $U \smallsetminus \{\ell\}$.

Pero dado que $U \smallsetminus \{\ell\}$ es también abierto (Rudin solo trata con espacios métricos donde los singletons son cerrados), califica como un vecindario de $\ell^\ast$. Entonces, dado que $\ell^\ast$ es un punto de acumulación de $E$, hay un elemento $e$ de $E$ dentro de $U \smallsetminus \{\ell, \ell^\ast\}$. En particular, este elemento $e$ de $E$ está dentro de $U \smallsetminus \{\ell\}$ como se desea.

Por lo tanto, todos los puntos de acumulación de $E'$ también son puntos de acumulación de $E$ y por lo tanto también deben pertenecer a $E'$.