Integrales definidas solucionables utilizando el Truco de Feynman

Question

Estoy buscando integrales definidas que se puedan resolver usando el método de diferenciación bajo el signo integral (también llamado el truco de Feynman) para practicar usando esta técnica.

¿Alguien sabe de algunas buenas para abordar?

Answer 1

Otro ejemplo es al evaluar $$\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{\cos xdx}{1+x^2}$$

al considerar primero $$I\left(a\right)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(ax\right)}{x\left(1+x^{2}\right)}dx,\,a>0$$ tenemos $$I'\left(a\right)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos\left(ax\right)}{1+x^{2}}dx$$ De donde se puede demostrar que $$I\left(a\right)=\frac{\pi}{2}\left(1-e^{-a}\right)$$ por lo tanto $$\lim_{a\rightarrow1}I'\left(a\right)=\frac{\pi }{2e}.$$

Answer 2

La integral $\displaystyle \int_0^1 \frac{x-1}{\ln x}dx$ se puede utilizar para introducir el truco de Feynman (Leibniz ya estaba usando este truco)

Answer 3

$I_9$ en la respuesta de Zacky es un caso especial de $$I(s)=\int_0^\infty \frac{x^s}{x^2+1} \, {\rm d}x \tag{1}$$ con $-1<\Re(s)<1$, es decir $$I_9 = \int_{2/3}^{4/5} I(s) \, {\rm d}s \, . $$ (1) se puede resolver mediante integración de contorno $$2\pi i\, {\rm Res} \left( \frac{z^s}{z^2+1} \right)\Bigg|_{z=i}=\pi e^{i\pi s/2} = \oint_{-\infty}^\infty\frac{z^s}{z^2+1} \, {\rm d}z \\ = \int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{z^s}{z^2+1} \, {\rm d}z + \int_{|z|=\epsilon}\frac{z^s}{z^2+1} \, {\rm d}z + \int_\epsilon^\infty \frac{z^s}{z^2+1} \, {\rm d}z + \int_{|z|=\infty} \frac{z^s}{z^2+1} \, {\rm d}z \\ = I_- + I_\epsilon + I_+ + I_\infty \, ,$$ donde el contorno está cerrado y evita el corte en el semiplano superior. La segunda y cuarta integral se pueden estimar y $I_-$ puede relacionarse con $\lim_{\epsilon \rightarrow 0} I_+ = I(s)$ $$|I_\epsilon| \leq \frac{\pi \epsilon^{s+1}}{1-\epsilon^2} \rightarrow 0 \quad \text{para} \quad \epsilon\rightarrow 0 \\ |I_\infty| \leq \frac{\pi R^{s+1}}{R^2-1} \rightarrow 0 \quad \text{para} \quad R\rightarrow \infty \\ \lim_{\epsilon \rightarrow 0} I_- \stackrel{z=-x}{=} \int_{0-i0}^{\infty-i0} \frac{(-x)^s}{x^2+1} \, {\rm d}x= e^{i\pi s} \int_0^\infty \frac{x^s}{x^2+1} \, {\rm d}x = e^{i\pi s} I(s) \, .$$ Por lo tanto $$\pi e^{i\pi s/2} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left(I_+ + I_-\right) = (1+e^{i\pi s})I(s) \\ \Rightarrow \quad I(s)=\frac{\pi/2}{\cos(\pi s/2)} \, .$$ Finalmente $$\int I(s) \, {\rm d}s = \log\left( \tan(\pi s/2) + \sec(\pi s/2) \right) + C \\ = \log\left( \tan\left(\frac{\pi}{4}(s+1)\right)\right) + C\, .$$