Integrales definidas solucionables utilizando el Truco de Feynman

Question

Estoy buscando integrales definidas que se puedan resolver usando el método de diferenciación bajo el signo integral (también llamado el truco de Feynman) para practicar usando esta técnica.

¿Alguien sabe de algunas buenas para abordar?

Answer 1

Dado que esto se ha vuelto bastante popular, mencionaré aquí una introducción al truco de Feynman que escribí recientemente. También contiene algunos ejercicios que se pueden resolver utilizando esta técnica.

Mi objetivo allí es dar algunas ideas sobre cómo introducir un nuevo parámetro, así como describir algunas heurísticas que tiendo a seguir al usar el truco de Feynman, esperando que pueda servir como un buen punto de partida.

---

En caso de que ya estés familiarizado con el truco de Feynman o prefieras evaluar algunas integrales directamente, aquí tienes una lista breve:

$$I_1=\int_0^\frac{\pi}{2} \ln(\sec^2x +\tan^4x)dx$$ $$I_2=\int_0^\infty \frac{\ln\left({1+x+x^2}\right)}{1+x^2}dx$$ $$I_3=\int_0^\frac{\pi}{2}\ln(2+\tan^2x)dx$$ $$I_4=\int_0^\infty \frac{x-\sin x}{x^3(x^2+4)} dx$$ $$I_5=\int_0^\frac{\pi}{2}\arcsin\left(\frac{\sin x}{\sqrt 2}\right)dx$$ $$I_6=\int_0^\frac{\pi}{2} \ln\left(\frac{2+\sin x}{2-\sin x}\right)dx$$ $$I_7=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\arctan(\sin x)}{\sin x}dx $$ $$I_8=\int_0^1 \frac{\ln(1+x^3)}{1+x^2}dx $$ $$I_9=\int_0^{\infty} \frac{x^{4/5}-x^{2/3}}{\ln(x)(1+x^2)}dx$$ $$I_{10}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x y) \ln (x y)}dxdy$$ $$I_{11}=\int_0^1\frac{\ln(1+x-x^2)}{x}dx$$ $$I_{12}=\int_0^1 \frac{\ln(1-x+x^2)}{x(1-x)}dx$$ $$I_{13}=\int_0^\infty \log \left(1-2\frac{\cos 2\theta}{x^2}+\frac{1}{x^4} \right)dx$$ $$I_{14}=\int_0^{\infty} \exp\left(-\left(4x+\frac{9}{x}\right)\right) \sqrt{x}dx$$ $$I_{15}=\int_0^\frac{\pi}{2}\arctan\left(\frac{2\sin x}{2\cos x -1}\right)\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\sqrt{\cos x}}dx$$ $$I_{16}=\int_0^1\int_0^1 \frac{ x\ln x\ln y}{(1-xy)\ln(xy)}dxdy$$ $$I_{17}=\int_1^{2}\frac{\cosh^{-1} x}{\sqrt{4-x^2}}dx$$ $$I_{18}=\int_0^t\frac{1}{\sqrt{x^3}} \exp\left({-\frac{(a-bx)^2}{2x}}\right) dx$$ $$I_{19}=\int_{0}^{\frac{\pi}4} \ln(\sin{x}+\cos{x}+\sqrt{\sin(2x)})dx$$ $$I_{20}=\int_0^1 \frac{\ln^2 x\ln(1+x)}{1+x^2}dx$$

Answer 2

Algunas buenas son: $$\int_0^\infty e^{-\frac{x^2}{y^2}-y^2}dx$$ $$\int_0^\infty \frac{1-\cos(xy)}xdx$$ $$\int_0^\infty \frac{dx}{(x^2+p)^{n+1}}$$ $$\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx$$ $$\int_0^\infty \cos(x^2)dx$$ $$\int_0^\infty \sin(x^2)dx$$ $$\int_0^\infty \frac{\sin^2x}{x^2(x^2+1)}dx$$ $$\int_0^{\pi/2} x\cot x\ dx$$ ¡Eso debería mantenerte ocupado por un tiempo! ;)

Answer 3

Puedes intentar la más famosa que es: $$\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}dx$$ ¡buena suerte!

Answer 4

Tal vez puedas mirar:

https://math.stackexchange.com/a/2989801/186817

El truco de Feynman se usa para calcular:

\begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{12}}\ln(\tan x)\,dx\end{align}

Answer 5

Se que llego un poco tarde, pero aquí tienes algunas $$\int_{-\infty}^\infty\frac{\ln{(x^2+1)}}{x^4+x^2+1}\,dx$$ $$\int_{-\infty}^\infty\frac{\ln{(x^4+x^2+1)}}{x^4+1}\,dx$$ $$\int_{-\infty}^\infty\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)e^{-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}\,dx$$ $$\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2+2\cos{x}-2}{x^4}\,dx$$ $$\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2+2\cos{x}-2}{x^4(x^2+1)}\,dx$$ $$\int_{-\infty}^\infty\left(\frac{1-\cos{x}}{x^2}\right)^2\,dx$$ $$\int_0^\infty\frac{\ln{(x+\sqrt{x^2+1})}} {(x+\sqrt{x^2+1})^2}\,dx$$ $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sqrt{\tan{x}}\space dx$$