Por lo que sé, una función $f$ definido en un intervalo $[a, b]$ se dice que es de variación acotada si $$ \tag {1}V_a^b(f)= \sup\left\ { \sum_ {P} \lvert f(x_{j+1})-f(x_j) \rvert \ :\ P\ \text {partition of }[a, b] \right\ }< \infty. $$ Hoy descubrí que se utiliza otra definición para una función definida en un subconjunto abierto $ \Omega $ de $ \mathbb {R}^n$ a saber cfr. Wikipedia ) decimos que $f$ es de variación acotada si $$ \tag {2}V(f; \Omega )= \sup\left\ { \int_ { \Omega }f(x)\, \text {div}\, \phi (x)\, dx\ :\ \phi\in C^1_c( \Omega ),\ \lVert \phi\rVert_ { \infty } \le 1 \right\ }< \infty. $$
Incluso si el citado artículo de Wikipedia trata las dos definiciones como si fueran equivalentes cuando $ \Omega =(a, b)$ no me parece que sea el caso. La función de Dirichlet $ \chi_ { \mathbb {Q} \cap [0, 1]}$ no es de variación limitada en $(0, 1)$ en el sentido de la definición (1) pero es en el sentido de la definición (2).
Pregunta . ¿Cuál es la relación precisa entre las dos definiciones?
Gracias por leer.
