¿Por qué este "milagro" método de inversión de matrices de trabajo?

Question

Recientemente, he contestado a esta pregunta acerca de la matriz de invertibility el uso de una solución técnica que se llama un "método milagro." La pregunta y la respuesta se reproduce a continuación:

Problema: Vamos a $A$ ser una matriz de satisfacción de $A^3 = 2I$. Demostrar que $B = a^2 - 2A + 2I$ es invertible.

Solución: Suspender su incredulidad por un momento y supongamos que $A$ y $B$ se escalares, no de las matrices. Entonces, por el poder de expansión de la serie, nos sería simplemente buscando $$\frac{1}{B} = \frac{1}{A^2 - 2A + 2} = \frac{1}{2}+\frac{A}{2}+\frac{A^2}{4}-\frac{A^4}{8}-\frac{A^5}{8} + \cdots$$ donde el coeficiente de $A^n$ es $$c_n = \frac{1+i}{2^{n+2}} \left((1-i)^n-i (1+i)^n\right).$$ Pero sabemos que $a^3 = 2$, por lo que $$\frac{1}{2}+\frac{A}{2}+\frac{A^2}{4}-\frac{A^4}{8}-\frac{A^5}{8} + \cdots = \frac{1}{2}+\frac{A}{2}+\frac{A^2}{4}-\frac{A}{4}-\frac{A^2}{4} + \cdots$$ y sumando el resultado de los coeficientes en $1$, $A$ y $A^2$, nos encontramos con que $$\frac{1}{B} = \frac{2}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{10}A^2.$$ Ahora, lo que he hecho sólo debe ser absurdo total, si $a$ y $B$ son realmente las matrices, no escalares. Pero trate de la configuración de $B^{-1} = \frac{2}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{10}^2$, calcular el producto de $BB^{-1}$, y usted encontrará que, milagrosamente, esta respuesta obras!

Descubrí esta solución técnica hace algún tiempo, mientras que la exploración de un problema similar en Wolfram Mathematica. Sin embargo, no tengo idea de por qué ninguna de estas manipulaciones deben producir una significativa responder a la hora de escalar y la inversión de matrices son tan diferentes operaciones. ¿Por qué este método de trabajo? Hay algo más profundo que una casual coincidencia en la serie de coeficientes de dilatación?

Answer 1

La respuesta real es el conjunto de $n\times n$ matrices de forma un álgebra de Banach, es decir, un espacio de Banach con una multiplicación que se distribuye de la manera correcta. En los reales, la multiplicación es la misma escala, de manera que la distinción no importa y no pensamos en ello. Pero con matrices, la ampliación y multiplicación de matrices es diferente. El punto es que no es ningún milagro. Más bien, el argumento que dio sólo utiliza las herramientas de álgebras de Banach (en particular, no uso conmutatividad). Así se generaliza bien.

Este tipo de truco se utiliza todo el tiempo con gran efecto. Un ejemplo clásico está demostrando que cuando $\|\|<1$ no es una función inversa de $1 -$. Se toma el argumento acerca de la serie geométrica de análisis real, comprueba que todo funciona en un álgebra de Banach, y luego ya está.

Answer 2

Piense acerca de cómo se deriva la finitos versión de la serie geométrica de la fórmula para escalares. Usted escribe:

$$x \sum_{n=0}^N x^n = \sum_{n=1}^{N+1} x^n = \sum_{n=0}^N x^n + x^{N+1} - 1.$$

Esto puede ser escrito como $xS=S+x^{N+1}-1$. Para mover el $S$ más, y recibe $(x-1)S=x^{N+1}-1$. Por lo tanto $S=(x-1)^{-1}(x^{N+1}-1)$.

Sólo hay un punto en este cálculo en la que tenía que ser cuidadoso acerca de la conmutatividad de la multiplicación, y que es en el paso en el que se multiplican ambos lados por $(x-1)^{-1}$. En la de arriba estaba cuidado al escribir esto en la izquierda, porque $xS$ originalmente multiplicado $x$ y $S$ con $x$ en la izquierda. Por lo tanto, siempre debemos hacerlo con una multiplicación paso a la izquierda, todo lo que hicimos funciona cuando $x$ es un miembro de ningún anillo con identidad tal que $x-1$ tiene un inverso multiplicativo.

Como resultado, si $a-I$ es invertible, entonces

$$\sum_{n=0}^N^n = (a-I)^{-1}(A^{N+1}-I).$$

Además, si $\ | \ | < 1$ (en cualquier operador de la norma), entonces $A^{N+1}$ plazo decae como $N \to \infty$. Como resultado, las sumas parciales son de Cauchy, y por tanto, si el anillo en cuestión también es completo con respecto a esta norma, se puede obtener

$$\sum_{n=0}^\infty A^n = (I-A)^{-1}.$$

En particular, en esta situación, hemos de recuperar la inversa: si $\ | \ | < 1$ entonces $I-a$ es invertible.

Answer 3

Las matrices que conmutan. El resto es "funcional cálculo" (también llamado operador de cálculo) que se aplica a la A.

Pensar, por ejemplo, de cómo el cálculo sería en un simultánea eigenbasis de a y B. Cuando las matrices que conmutan hay una base en la que ambos son diagonales (o a ambos en forma normal de Jordan). A continuación, las operaciones son válidas si son válidas cuando se aplican a cada autovalor considerado como un número.

Answer 4

Muchos (pero no todos!) las cosas acerca de las funciones escalares de trabajo con matrices a través de la alimentación de la serie. Todo es más fácil cuando $A^n=a$ (no recuerdo el nombre de esta propiedad) o de la matriz es nilpotent ($A^n=0$). Para los más numéricamente orientados a la gente, me sugieren "cálculo de la matriz de funciones": http://dx.doi.org/10.1017/S0962492910000036

Answer 5

Las reglas ordinarias de la aritmética en $\mathbb R$ por lo general no se aplican a la matriz álgebra. Pensar acerca de la no-conmutatividad de los productos, la posibilidad de que el producto de dos no-cero matrices a ser la matriz cero, etc. En general, uno debe tener cuidado y resistir la tentación de tomar estos trucos como acaba de hacer demasiado en serio.

Sin embargo, hay muchas similitudes entre el subyacente estructuras algebraicas de la matriz de la aritmética ordinaria y aritmética (de hecho, este último puede ser concebida como un caso especial de la ex cuando todas las matrices involucradas tienen sólo una fila y columna de cada uno). Por lo tanto, la aritmética habitual trucos a veces el trabajo, así como, en su caso. Por lo tanto, puede ser fructífera para experimentar con el abuso de las reglas de la matriz de la aritmética uso de su intuición y, a continuación, comprobar rigurosamente después si los resultados provisionales en realidad tiene sentido.