¿Es cada integral definida única hasta el cambio de variable?

Question

Dado un integral definida $$I=\int_a^b f(x)\text{d}x$$ para alguna función $f$, podemos hacer cualquier número de sustituciones $x=u(x)$ que producen integral nuevos de manera simbólica, todos los cuales evalúan al mismo valor.

Mi pregunta principal es la siguiente: ¿es posible tener dos integrales definidas ambas de las cuales dan el mismo valor pero ninguna de las cuales puede ser transformada (es decir, hecha para verse igual simbólicamente) en la otra por sustitución?

Tengo la impresión de que la respuesta a mi pregunta es SÍ, pero no estoy seguro. ¿Hay alguna información o teoría allá afuera que aborde esto? ¿Cómo podemos saber cuándo la transformación no puede ser realizada (si es que de hecho no puede ser realizada)?

Answer 1

Los dos integrales definidas $$\int_0^\infty \sin(x^2)dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}$$ y $$\int_0^\infty \cos(x^2)dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}$$ son iguales, pero no conozco ninguna sustitución que muestre que lo son.

Answer 2

Empecemos con la buena y vieja semicircunferencia: $$I_1=\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2}\text{d}x = \frac{\pi}{2}$$

Ahora agreguemos un triángulo elegante: $$I_2=\int_{0}^{1} \pi{x}\text{d}x = \frac{\pi}{2}$$

Y, finalmente, una constante para que quede bien claro: $$I_3=\int_{0}^{1} \frac{\pi}{2}\text{d}x = \frac{\pi}{2}$$

Oye... ¿qué esperabas? Son las 1:00am.

Answer 3

Tenga en cuenta que, $$\int_0^{\pi /2}\cos x dx=1=\int_0^{\pi/2}(2/\pi)dx$$ Ahora, para cualquier sustitución $x=u(x)$ tenemos $$\int_0^{\pi /2}\cos x dx=\int_0^{\pi/2}\cos (u(x))u^\prime(x)dx$$ Así que deberíamos tener, $2/\pi=\cos (u(x))u^\prime (x)$ lo cual no puede ser verdad, porque el LHS es constante pero el RHS no lo es.