¿Cuál es la forma más sencilla de construir un pentágono regular usando los Elementos de Euclides? Usando el compás y la regla es fácil obtener un lado pero ¿cómo debería empezar el segundo lado?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Normalmente no estoy a favor de una respuesta con un simple enlace, pero el sitio web Math Open Reference tiene una gran cantidad de información sobre la construcción de figuras geométricas con ilustraciones claras y paso a paso.
En particular, revisa la entrada "Construyendo un pentágono inscrito en un círculo".
Aquí hay una construcción que solo requiere un solo radio de compás (compases oxidados).
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Primero construya un par de líneas perpendiculares, una operación fácil de hacer usando solo un radio de compás (que de aquí en adelante se llamará una unidad de longitud). Etiquete el punto de intersección como A.
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Dibuje el Círculo A (todos los círculos se etiquetan por sus centros, lo que admite unicidad ya que el radio está fijo). Etiquete una intersección con una de las líneas como B y una intersección con la otra línea como C.
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Dibuje el Círculo B, que intersecta la línea AB en los puntos A y D.
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Dibuje el Círculo C y el segmento de línea CD, que se intersectan en el punto E dentro de este segmento de línea (solo una intersección línea-círculo queda dentro del segmento de línea). DE mide $1/\phi=(\sqrt5-1)/2$.
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Dibuje los Círculos D y E que se intersecan en F y G. Para mayor concreción, se considera que F está en el mismo lado de la línea CD que A, y G en el lado opuesto. D, E y G son ahora tres vértices del pentágono final.
En este punto las cosas se complican. Sabemos que los vértices restantes del pentágono están a una unidad de distancia, pero cada uno de los círculos necesarios que pasan por uno de estos vértices tiene su centro en el otro y ambos centros prospectivos son desconocidos. Básicamente tenemos que resolverlos simultáneamente.
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Dibuje el segmento de línea FG. Este biseca el segmento DE en H.
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Dibuje el Círculo H, extendiendo el segmento de línea CD si es necesario para identificar los puntos de intersección I (más cerca de C del segmento de línea original) y J (más cerca de D).
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Dibuje el Círculo I, que interseca el Círculo H en los puntos K y L.
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Dibuje el segmento de línea KL que interseca el Círculo D en un punto M en el mismo lado de CD que G. M está a media unidad de la línea espejo FG y a una unidad del vértice opuesto D; estas condiciones de distancia coinciden con los requisitos para un vértice del pentágono cuyas diagonales serán de una unidad (las longitudes de DG y EG).
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Dibuje el Círculo J, que interseca el Círculo H en los puntos N y O.
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Dibuje el segmento de línea NO que interseca el Círculo E en un punto P en el mismo lado de CD que G. M y P son los vértices para los cuales resolvimos simultáneamente.
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Dibuje el pentágono DEMGP que es regular, con longitud de lado $(\sqrt5-1)/2$ y diagonal $1$.