¿Cómo calcular una expectativa condicional dada una función mínima?

Question

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria con una PDF exponencial $f_X(x)=e^{-x}$ con $\lambda=1$. También supongamos que $$U_1=\min(X,t) \quad \text{ y } \quad U_2 = \max(X,t)$$ para $t>0$. ¿Cómo puedo calcular $E[X|U_i]$ para $i=1,2$?

Aquí es cómo estoy intentando resolver este problema: $E[X|U_1] = E[X|\min(X,t)]$. Además, por expectativas condicionales, sé que

$$E[X|U_1] = \int_{-\infty}^\infty xf_{X|U_1}(x|u_1)\,dx$$

También sé por la Ley de la Expectativa Iterada que $$E[X] = E[ E[ X|U]]$$ Finalmente, también sé que $$E[X] = \int_{-\infty}^\infty xf_{X}(x)\,dx = \int_{0}^\infty x e^{-x}dx = 1$$

Por lo tanto $E[E[X|U]] = 1$.

Después de este punto, estoy perdido. No estoy seguro de a dónde voy con esto.

Answer 1

En primer lugar, observe que $$U_1=\begin{cases} X, & \text{ si } Xt]$$ Pero como $$f_{X|X>t}(x|X>t)=\frac{f_X(x)}{P(X>t)}=\frac{e^{-x}}{e^{-t}}=e^{t-x}$$ para todo $x>t$, entonces $$E[X|U_1=t]=E[X|X>t]=\int_{t}^{\infty}xe^{t-x}dx=\int_{0}^{\infty}(t+u)e^{-u}du=t+1$$ Por lo tanto, $$E[X|U_1]=U_1\cdot 1_{\{U_1

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Observe que para cualquier $t>0$ se tiene que $$P(U_1=t)=P(X\ge t)=e^{-t}$$ y por lo tanto $$f_{U_1}(u)=\begin{cases}f_X(u), &u