Estoy tratando de resolver el siguiente problema:
(a) Indicar una fórmula que relacione los órdenes de los centralizadores y las cardinalidades de las clases de conjugación en un grupo finito $G$.
(b) Sea $G$ un grupo finito con un subgrupo normal propio $N$ que no está contenido en el centro de $G$. Demuestra que $G$ tiene un subgrupo propio $H$ con $|H|>|G|^{\frac{1}{2}}$.
Para la parte (a) tengo:
Sea $x \in G$. Definimos $f: G/C_G(x) \to C_x$ por $f(gC_G(x))=gxg^{-1}$. Observa que $f$ está bien definida, ya que si $gC_G(x)=hC_G(x)$ entonces $h^{-1}g C_G(x)=C_G(x)$ lo que significa que $h^{-1}g \in C_G(x)$, por lo tanto $h^{-1}gx=xh^{-1}g$, es decir $gxg^{-1}=hxh^{-1$, por lo tanto $f(g)=f(h).$ El mismo razonamiento en sentido inverso muestra que $f$ es inyectiva. Además, $f$ es trivialmente sobreyectiva, entonces $f$ es una biyección.
Por lo tanto $|G/C_G(x)|=[G:C_G(x)]=\frac{|G|}{|C_G(x)|}=|C_x|.
Para la parte (b) tengo:
Dado que $N$ es propio y no está contenido en $Z(G)$, entonces sea $x \in N-Z(G)$, entonces por la parte (a) y tomando $H=C_G(x)$ tenemos que $H$ es un subgrupo propio de $G$ ya que si $H=G$ entonces $x \in Z(G)$. Además, por nuestra fórmula en la parte (a) tenemos que $|G|=|H||C_x|.$
Ahora estoy tratando de demostrar que $|C_x|$ es estrictamente menor que $|H|$, entonces habremos terminado. Sé que $|C_x|$ es menor que $|N|$ porque dado que $N$ es normal en $G$ y $x \in N$ tenemos que $gxg^{-1} \in N$ para todo $g \in G$. Por lo tanto, tenemos $|C_x|<|N|$.
¿Alguien puede darme una pista para concluir que $|C_x|<|H|$? Me gustaría pensarlo un poco más, así que por favor no me des la solución directa, solo una pista para que pueda dar el siguiente paso y concluir por mí mismo.
Avísame también si hay algún error en mi solución para la parte (a) y/o la solución de la parte (b) hasta ahora.
¡Muchas gracias por tu ayuda!
