Cómo encontrar la suma $\sum_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!}$

Question

Necesito encontrar la suma de

$$\sum_{k=1}^n \frac{k}{(k+1)!}$$

usando sumas de diferencias. Intenté agregar algo para encontrarlo, intenté encontrar algunas diferencias que ayudarían. Pero no obtuve resultados. Sé que sería muy fácil. Pero soy nuevo estudiando sumas.

Answer 1

El trivial: $$\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{(k + 1)!} = \sum_{k = 1}^{n}\bigg[ \frac{k+1}{(k+1)!} - \frac{1}{(k + 1)!}\bigg] = \sum_{k = 1}^{n}\bigg[ \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k + 1)!}\bigg] = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(n + 1)!}$$ $$= 1 - \frac{1}{(n + 1)!}$$