Estaba trabajando en un problema tratando de encontrar si algún punto en la función de alguna figura era un vértice o no al probar si $\lim_{h\to 0}f'(x+h)\not=f'(x)$ para ver si había un cambio repentino en el punto como se ve en los vértices, pero seguía encontrando el problema de que las derivadas en esos puntos eran indefinidas o sin sentido ya sea debido a que la función era por partes o la derivada era $\frac{0}{0}$.
Así que consideré en su lugar tomar la derivada entre los dos puntos adyacentes a $x$ como se muestra en la función en el título anterior de $\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x-h\right)}{2h}$. Pero la pregunta que tengo es si es una redefinición válida?
Algunos de mis pensamientos:
Si
$$\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x-h\right)}{2h}=f'(x)$$
entonces $$\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x-h\right)}{2h}=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$$
implicando además que
$$f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+f(x-h)}{2}$$
Cuando introduzco esta función en WolframAlpha%2F2) obtengo una salida que me indica que esto es cierto para todas las funciones analíticas y la expansión de series se acerca a $f(x)$. Si quito el límite en $h$%2F2) WolframAlpha me dice que $f(x)$ debe ser una función par, aunque dudo de esto.
