Precio de Black-Scholes para Derivados de Pago Fijo

Question

Tengo una pregunta sobre cómo derivar un modelo de fijación de precios parecido a Black-Scholes, dado un pago fijo en lugar de uno que varíe con el precio de las acciones.

Más específicamente, si se tiene un derivado que paga un monto fijo de \$x si el precio de las acciones $S(T)$ es mayor o igual a un monto acordado $K$ en el tiempo de vencimiento $t = T$. Si $S(T) < K$, el pago es de \$0.

Reconozco y entiendo la ecuación de Black-Scholes para una opción de compra europea tradicional, pero me pregunto si hay alguna manera sencilla de incorporar esto en la ecuación, o trabajar de manera inversa para derivar una ecuación para $C(0)$.

Answer 1

Esto se llama una opción digital.

Como indica Raskolnikov en los comentarios, la EDP de Black Scholes está destinada a mucho más que solo opciones vainilla. Funciona de la misma manera para prácticamente cualquier derivado del precio subyacente: puedes poner cualquier función de pago terminal como tu condición final y luego resolver por el precio inicial.

Sin embargo, por supuesto, cambiar esta función de pago terminal cambia el precio que obtienes.

Si te sientes cómodo con la probabilidad, es más fácil pensarlo en términos de una distribución de precios (a menudo llamada distribución de riesgo neutral). Las suposiciones de Black Scholes implican que el precio se da por el valor descontado esperado del reclamo, donde la distribución para el subyacente es un movimiento browniano geométrico con una tasa de crecimiento igual a la tasa libre de riesgo.

Bajo estas suposiciones, la distribución del valor subyacente en el momento de la expiración $T$ tiene una densidad lognormal donde $$\log(S_T/S_0)\sim N(r'T, \sigma^2T)$$ donde $r'=r-\frac{1}{2}\sigma^2.$ Así que el valor esperado del pago terminal es $$ E(x1_{S> K})= xP(S>K) \\= xP(\log S/S_0>\log K/S_0)\\=x P\left(\frac{\log S/S_0-r'T}{\sqrt{\sigma^2 T}} > \frac{\log K/S_0-r'T}{\sqrt{\sigma^2 T}}\right)\\=xN\left(\frac{\log S_0/K+r'T}{\sqrt{\sigma^2 T}}\right)\\= x N(d_2)$$ donde usamos la abreviatura convencional de la fórmula para opciones vainilla en la última línea. Así que dado que el descuento es constante, podemos simplemente multiplicar por el descuento $e^{-rT}$ para obtener el valor $C(0)=x e^{-rT}N(d_2).$

(Es útil recordar en cualquier caso que $N(d_2)$ es la probabilidad (neutral al riesgo) de que el subyacente termine por encima del precio de ejercicio.)