El siguiente es un ejercicio de un libro sobre martingalas continuas y movimiento browniano por Revuz y Yor.
Sea $B$ el movimiento browniano lineal estándar.
1) Para cualquier medida de probabilidad $\mu$ en $\mathbb R$, prueba que hay una variable aleatoria medible $\mathcal{F}^B_{\frac{1}{2}} $ tal que la distribución de $Z$ es igual a $\mu$, es decir, $P \circ Z = \mu$
2) Define un tiempo de parada $\mathcal{F}^B_t$ $T$ por
$$T = \inf \{t \ge 1 : B_t =Z \} $$
Demuestra que la distribución de $B_T$ es $\mu$ y que $E[T]= \infty$
Para 1) uno obviamente piensa en el resultado de que para cualquier medida de probabilidad $\mu$ en $\mathbb R$ existe una variable aleatoria con distribución $\mu$. Necesitamos 1) asegurarnos de que podemos tomar esta variable aleatoria como un mapeo del mismo espacio muestral del que mapea $B$, y 2) asegurarnos de que es medible con respecto a $\mathcal{F}^B_{\frac{1}{2}} $.
La construcción para el resultado anterior es dejar $Z: \mathbb R \to \mathbb R, \ Z(x)=x$, que es ciertamente medible de Borel. ¿Existe alguna construcción de movimiento browniano como un proceso estocástico en $\mathbb R$? ¿O más bien deberíamos tomar alguna construcción de $B$ en la sigma-álgebra de traza en $C(\mathbb R ) \cap \mathbb R^{[0,1) } $ y luego componer $Z$ con alguna proyección $\pi_t$ de $\mathbb R^{[0,1) } $ a $\mathbb R$? ¿Cómo encaja $\mathcal{F}^B_{\frac{1}{2}} $ en esto?
Para 2) uno pensaría que el método es probar que para cualquier $a < b$, $\{B_T \in (a,b) \} = \{Z \in (a,b) \} $ y luego la afirmación sobre las distribuciones serán iguales. ¿Cómo mostramos que $E[T]=\infty$?
¡Muy agradecido por cualquier ayuda proporcionada!
