Por expresión elemental para la secuencia $\{a_n\}_{n=0}^\infty$, me refiero a una función elemental $f : X \to \mathbb C$, donde $\mathbb N \subset X \subset \mathbb R$, tal que $f(n)=a_n$ para todo $n$. El conjunto de funciones elementales es el conjunto más pequeño que
- contiene funciones constantes $f(x)=c\in\mathbb C$;
- contiene $f(x)=x$;
- es cerrado bajo la adición $f(x) + g(x)$, multiplicación $f(x)g(x)$ y exponenciación $f(x)^{g(x)}$, donde la exponenciación se restringe a donde $f(x)\in\mathbb R^+$ por conveniencia;
- es cerrado bajo la composición $f(g(x))$;
- es cerrado bajo la exponenciación $\exp f(x)$ y el logaritmo $\ln f(x)$ por la rama principal.
En particular, las funciones trigonométricas y sus inversas también son elementales ($\sin(x) = \frac{-i}2(e^{ix}-e^{-ix})$, $\arctan x=\frac{1}{2}i[\ln(1-ix)-\ln(1+ix)]$, etc). Y la función Gaussiana $\lfloor x\rfloor, x\in \mathbb R\backslash \mathbb Z$ es elemental al trastear con $\arctan \cot x$ (que se asemeja a la función parte fraccionaria).
Una secuencia elemental muy importante es la secuencia de números primos $p_n = \text{el } n^{\text {ésimo}} \text{ número primo}$. ¡Esta secuencia ES elemental! Para ver esto, construye $$c = \sum_{i=1}^{\infty} p_i 10^{-i(i+1)/2},$$ que converge y es una constante, por lo tanto cumple con nuestros criterios a pesar de contener sumas infinitas. Luego podemos construir $f(i)=\left\lfloor c10^{i(i+1)/2}\right\rfloor - \left\lfloor c10^{i(i-1)/2}\right\rfloor10^{i}$ para extraer los primos, ya que $p_i < 10^i$. De esta manera, podemos construir expresiones elementales para cualquier secuencia de enteros positivos, siempre que pueda estar acotada por otra secuencia elemental. Y mediante una construcción inteligente aquí (contiene errores menores no corregidos) o aquí (en chino), podemos ver que todas las secuencias de enteros positivos pueden ser acotadas, y por lo tanto tienen expresiones elementales. Fácilmente podemos generalizar esto a todas las secuencias racionales. Así que la pregunta es:
¿Se puede generalizar este resultado a secuencias reales?
(Por supuesto, las secuencias complejas fácilmente se siguen). Nota que no es suficiente utilizar el argumento de conteo, ya que hay $\beth^{\mathbb N}_1 = \beth_1$ secuencias reales, que es igual al número de expresiones elementales. Y el método que usamos anteriormente no se puede generalizar, porque codificaciones similares casi siempre implicarán trastear con dígitos, lo que conduce a funciones de decodificación que contienen discontinuidades densas. Y las funciones elementales no pueden ser discontinuas en un conjunto denso.
