¿Cómo probar si 2 muestras binomiales son equivalentes?

Question

Problema:

Sean $X_1,..., X_{n_1} \stackrel{iid}{\sim} \text{Binomial}(n, p_1)$ y $Y_1,..., Y_{n_2} \stackrel{iid}{\sim} \text{Binomial}(n, p_2)$. Quiero probar las siguientes hipótesis:

$$ H_0: p_1 = p_2 \\ H_A: p_1 \neq p_2 $$

Mi enfoque hasta el momento:

Sea $\hat{p}_1 = \frac{ \sum_{i=1}^{n_1} X_i/n }{n_1}$ y $\hat{p}_2 = \frac{ \sum_{i=1}^{n_2} Y_i/n }{n_2}$. Prueba si estas proporciones son iguales utilizando una prueba de ji-cuadrado de homogeneidad (ver detalles aquí).

Mis preguntas:

1. ¿Existe una mejor manera de hacer esta prueba? Dejar que $p_1$ y $p_2$ sean los promedios de todas las proporciones individuales parece tonto porque ignora las distribuciones de las proporciones.

2. ¿Podría dejar que $\hat{p}_1 = (X_1/n, ..., X_{n_1}/n)$ y $\hat{p}_2 = (Y_1/n, ..., Y_{n_2}/n)$ y utilizar una ANOVA no paramétrica (como la prueba de Kruskall-Wallis) para probar si los vectores de proporciones son diferentes? ¿Sería este enfoque mejor que mi propuesta inicial?

Answer 1

Bajo tus suposiciones, $$ X =\sum_1^{n_1} X_i \sim \mathcal{Binom}(n\cdot n_1, p_1) \\ Y = \sum_1^{n_2} Y_i \sim \mathcal{Binom}(n \cdot n_2, p_2) $$ lo cual reduce esto a una prueba de igualdad de dos proporciones binomiales. Muchas preguntas en este sitio sobre eso. Dices:

Permitir que $_1$ y $_2$ sean los promedios de todas las proporciones individuales parece tonto porque ignora las distribuciones de las proporciones.

Tal vez se sienta así, pero bajo tus suposiciones, esta es una reducción suficiente de los datos ... entonces, si se siente tonto, ¿tal vez se pregunta si las probabilidades individuales de los $X_i$ y de los $Y_i$ pueden no ser todas iguales?

Tu pregunta 2: De nuevo, bajo las suposiciones establecidas, esto no sería mejor, ya que la prueba se basaría en la variación (en las $X_i/n, Y_j/n$ individuales que bajo el modelo establecido es irrelevante.

Entonces, ¿cómo probar? En R podrías usar la función prop.test, mira por ejemplo ¿Por qué no usar siempre una prueba exacta binomial para comparar dos proporciones en lugar de chi-cuadrado? o podrías hacer la tabla de contingencia 2 x 2 y usar chisq.test.