¿Cómo calcular el momento de inercia de un cubo sólido?

Question

¿Cómo calculo el momento de inercia de un cubo sólido uniforme alrededor de un eje que pasa por su centro de masa?

También quería saber si el momento de inercia de un cuerpo es independiente de su forma. Además, recientemente leí en algún lugar que el momento de inercia de un cubo sólido uniforme es mínimo alrededor de un eje que pasa por su COM porque la masa está más concentrada en su centro. ¿Tiene sentido la afirmación?

Answer 1

Primero necesitas definir la orientación del cubo en relación con el eje que deseas medir. Normalmente, una matriz de rotación $E$ de 3x3 hace el trabajo de transformar coordenadas locales a lo largo de los ejes principales a coordenadas mundiales. Luego se usa la transformación $E I_{cuerpo} E^\intercal$

Ejemplo:

Una rotación única $\theta$ sobre el eje $z$ mundial es

$$ E = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Si la matriz de momento de inercia del cuerpo en los ejes principales $(x,y,z)$ es

$$I_{cuerpo} = \begin{vmatrix} I_{xx} & & \\ & I_{yy} & \\ & & I_{zz} \end{vmatrix} $$

entonces el momento de inercia sobre las coordenadas mundiales es

$$ I_{mundo} = E\,I_{cuerpo}\, E^\intercal $$

donde $E^\intercal$ es la rotación inversa encontrada por el operador de trasposición. El resultado es $$ I_{mundo} = \begin{vmatrix} I_{yy}+(I_{xx}-I_{yy})\cos^2\theta & (I_{xx}-I_{yy})\sin\theta\cos\theta & 0\\ (I_{xx}-I_{yy})\sin\theta\cos\theta & I_{xx}+(I_{yy}-I_{xx})\cos^2\theta & 0\\ 0 & 0& I_{zz} \end{vmatrix} $$

Esto representa el momento de inercia sobre los tres ejes mundiales. Para obtener el MMOI sobre un eje específico $\hat{e}$ se calcula $$I_{ee} = \hat{e}^\intercal I_{mundo} \hat{e} $$

Entonces, para obtener el MMOI sobre el eje X mundial con $\hat{e}=(1,0,0)$ se encuentra que $$I_{XX} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \end{pmatrix} I_{mundo} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = I_{yy}+(I_{xx}-I_{yy})\cos^2\theta $$

Alternativamente Puedes encontrar las coordenadas locales del eje X mundial como $\hat{x} = E^\intercal \hat{e}$ y luego calcular $$\boxed{ I_{XX} = \hat{x}^\intercal I_{cuerpo} \hat{x} }$$

Answer 2

El momento de inercia se puede definir como la integral de volumen de la densidad por el vector de posición (centrado en el origen del eje que elijas): $$ I_{obj}=\int dV\,\rho\left(\mathbf{r}\right)\mathbf{r}^2 $$ lo cual siempre debería funcionar.

En cuanto a tus otras preguntas, si tuviéramos un cilindro delgado y sólido y lo rotáramos sobre su punto final:

El momento de inercia sería $$ I_{cyl,end}=\frac13mL^2 $$ Si tomáramos la misma barra y la rotáramos alrededor de su centro,

Entonces el momento de inercia termina siendo $$ I_{cyl,mid}=\frac1{12}mL^2 $$ Si en lugar de eso tuviéramos una esfera rotando alrededor de su centro,

el momento de inercia es $$ I_{sph}=\frac25mr^2 $$

Entonces claramente la forma y el eje afectan el momento de inercia.

Si rotamos un objeto alrededor de un eje que no se alinea con su centro de masa, entonces necesitamos usar el teorema de los ejes paralelos. Esto nos dice que el momento de inercia total es entonces $$ I_{tot}=I_{cm} + mr^2 $$ donde $r$ denota la distancia desde el centro de masa del objeto hasta el eje de rotación y $I_{cm}$ es el momento de inercia normal para el objeto (por ejemplo, los anteriores).

Answer 3

Dos teoremas que vale la pena conocer cuando se trata de cálculos como este:

1) Teorema del eje paralelo. Para cualquier objeto de masa $m$, el momento de inercia $I_A$ alrededor de un eje A que es paralelo pero desplazado por una distancia $x$ de un eje C que pasa por el centro de masa, se da por $$I_A = mx^2 + I_C$$

De esto se desprende inmediatamente que el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masa es mínimo (para esa dirección de rotación) ya que $mx^2$ siempre será >0 para cualquier valor distinto de cero de $x$ (el desplazamiento).

2) Teorema del eje perpendicular. Para una lámina (placa delgada), el momento de inercia alrededor de un eje perpendicular a la lámina es igual a la suma de los momentos de inercia alrededor de dos ejes perpendiculares en la lámina.

Este teorema es útil para calcular el momento de inercia de una placa cuadrada de masa $m$ y lado $s$. Es fácil calcular el momento de inercia alrededor de un eje en el plano de la placa y paralelo a los lados del cuadrado - alrededor de ese eje la distribución de masa del objeto no es diferente a la distribución de una barra, para la cual tenemos el resultado

$$I_x = \frac{1}{12} m s^2$$

Por simetría, $I_y = I_x$. Del teorema del eje perpendicular, $I_z = I_x + I_y$ entonces

$$I_z = \frac{1}{6} m s^2$$

Teniendo en cuenta que un cubo está compuesto por una pila de láminas, se sigue que el momento de inercia de un cubo alrededor de un eje que pasa por el centro de masa (y a través de la cara del cubo) es el mismo que el anterior.

Puedes ver una lista bastante completa de otros momentos de inercia para diferentes formas en este enlace