De Moivre's Theorem

Question

Expresa la siguiente función en forma de $a+ib$, siendo $z$ escrito como $\cos \theta+i \sin \theta$

$$\frac{1}{1+z^2}$$

Mi intento,

$$\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{1+(\cos \theta +i \sin \theta)^2} =\frac{1}{1+\cos 2\theta+i \sin 2\theta}$$

¿Cómo proceder? La respuesta dada es $\frac{1}{2}(1-i \tan \theta)$

Answer 1

Continuando desde donde te quedaste:

$$\begin{align} \frac 1 {1+\cos 2\theta + {\rm i} \sin 2\theta} = \\ \frac {1+\cos 2\theta - {\rm i} \sin 2\theta} {(1+\cos 2\theta + {\rm i} \sin 2\theta) (1+\cos 2\theta - {\rm i} \sin 2\theta)} = \\ \frac {1+\cos 2\theta - {\rm i} \sin 2\theta} {(1+\cos 2\theta)^2 + \sin^2 2\theta} = \\ \frac {1+\cos 2\theta - {\rm i} \sin 2\theta} {1 + 2 \cos 2 \theta + \cos^2 2 \theta + \sin^2 2 \theta} = \\ \frac {1+\cos 2\theta - {\rm i} \sin 2\theta} {2 + 2 \cos 2 \theta} = \\ \frac {1+\cos 2\theta} {2 + 2 \cos 2 \theta} - {\rm i} \frac {\sin 2\theta} {2 + 2 \cos 2 \theta} = \\ \frac 1 2 - {\rm i} \frac 1 2 \frac {\sin 2\theta} {1 + \cos 2 \theta} = \\ \frac 1 2 \left( 1 - {\rm i} \frac {\sin 2\theta} {1 + \cos 2 \theta} \right) = \\ \frac 1 2 \left( 1 - {\rm i} \frac {2 \sin \theta \cos \theta} {1 + 2 \cos^2 \theta - 1} \right) = \\ \frac 1 2 \left( 1 - {\rm i} \tan \theta \right) \end{align}$$