Deja $f:[0,1]\to\Bbb{R}$ una función continua que es diferenciable en $(0,1)$, pero no en $0$ y $1$

Question

Necesito dibujar una gráfica cuya función sea diferenciable en todo $(0,1)$ pero no en $0$ y $1$. Solo puedo imaginar la función $f(x)=cotg(\frac{x}{\pi})$ pero esta $f$ no está bien definida en $[0,1]$, a pesar de que no es diferenciable en $0$ y $1$.

Answer 1

Oh, me perdí la restricción de que el dominio de $f$ es $[0,1]$. Si $f$ es diferenciable en $(0,1)$ y continua en $[0,1]$ e inexistente en $(-\infty,0)$ y $(1,\infty)$ esto es imposible a menos que $\lim f'(x) = \pm \infty$.

$f'(0) = \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(h) - f(0)}{h}$.

Como $f$ es continua $f(0) = lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)$ entonces

$f'(0) = \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(h) - f(0)}{h}= \lim_{x\rightarrow 0^+}\lim_{h\rightarrow x^+}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}=\lim_{x\rightarrow 0^+} f'(x)$

Por lo tanto es diferenciable en $x = 0$ si el límite existe. Del mismo modo:

$f'(1) = \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(1-h) - f(1)}{-h}$.

Como $f$ es continua $f(1) = lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)$ entonces

$f'(1) = \lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(h) - f(0)}{h}= \lim_{x\rightarrow 1^-}\lim_{h\rightarrow x^-}\frac{f(x-h) - f(x)}{-h}=\lim_{x\rightarrow 1^-} f'(x)$

Por lo tanto es diferenciable en $x=1$ si el límite existe.

Entonces queremos una función donde $lim f(x)$ existe pero $\lim f'(x)$ no.

Gráficamente una función que se vuelve vertical en $x=0,1$ lo hará. es decir

$f(x) = \sqrt{\frac 14 - (\frac 12 - x)^2}$

[$f'(x) = -\frac 2{\sqrt{\frac 14 - (\frac 12 - x)^2}2 (\frac 12 - x)^2}$ que está definido para $0 < x < 1$ pero indefinido en $x=0$ o $x=1$]

Pero si $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ donde $f$ es continua y $f$ es diferenciable en $(0,1)$ pero no diferenciable en 0 o 1 es ciertamente posible si $f$ "se sale en un ángulo agudo" en 0 y 1.

Ejemplos: $f(x) = |x(x-1)|$. para $f(x) = 0; x < 0; f(x) = x; 0 \le x \le 1; f(x) = 1; x > 1$ o $f(x) = x^2; x < 0; f(x)=x; 0 \le x \le 1; f(x)=-x^3 + 2; x > 1$, etc.

En todos estos casos $\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\ne \lim_{h\rightarrow 0^-}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ en $x = 0$ o $x=1$ por lo que no son diferenciables allí.

Answer 2

Ya has visto $$ f_{1}(x) = \sqrt{x - x^{2}}, $$ cuyo gráfico es la mitad superior de un círculo sobre $[0, 1]$; otros ejemplos incluyen escalados adecuados de $\arccos$ o $\arcsin$, como $$ f_{2}(x) = \arcsin\bigr(\tfrac{1}{2}(1 + x)\bigr), $$ que nuevamente tiene tangentes verticales en los extremos.

Para obtener un fracaso más espectacular, prueba algo como $$ f_{3}(x) = f_{1}(x) \sin\left(\frac{1}{f_{1}(x)^{n}}\right),\quad n \geq 1, $$ extendido por continuidad para ser $0$ en los extremos. Aquí, la derivada oscila (y es ilimitada) cerca de cada extremo, por lo que las derivadas de los extremos no existen incluso si se permiten $\pm\infty$ como valores.

Answer 3

Pista: Primero, encuentra una función continua $g$ en $[0,1]$ diferenciable en todas partes excepto en $0$. Sea $h(x)=g(x)\cdot(x-\frac{1}{2})^2$ -- tendrá las mismas propiedades, pero la derivada en $\frac{1}{2}$ será $0$. Luego pon $$f(x)=\begin{cases} h(x) \textrm{ si }x<\frac{1}{2}\\ h(1-x)\textrm{ si }x\geq \frac{1}{2}.\end{cases}$$

Answer 4

$$f(x) = x \sin \frac {1}{x} + (1-x) \sin \frac {1}{1-x} \;\;\;\;\text{con}\;\; f(0) = f(1) = \sin 1$$

Es fácil demostrar que la función es continua en $[0,1]$, diferenciable en $(0,1)$, pero no diferenciable en $\{0,1\}$. Su gráfica se puede trazar en Wolfram Alpha+for+0+%3C+x+%3C+1).

Answer 5

¿Por qué no simplemente $f(x)=x$ si $0 \le x \le 1$.$f(x)=0$ si $x<0$ y $f(x)=1$ si $x>1

$f$ es continua y no diferenciable en $0$ o $1$.