¿Existen pruebas teóricas de intersección para teoremas de tipo Ham-Sandwich?

Question

Pregunta concreta:

Sea $f:\mathbb S^n \to \mathbb R^n$ una aplicación suave $\mathbb Z/2$ equivariante, donde la acción en la esfera es antipodal, y $\mathbb R^n$ es la multiplicación de coordenadas.

¿Se puede demostrar que

$$0 \neq H^n(\bigcap_{i=1}^{n} X_i) \in H^n(S^n)$$

donde $$X_i:=f^{-1}\left(\mathbb R \times \dots \underbrace{\{0\}}_{i\text { componente}} \times \dots \times \mathbb R \right) .$$

No está claro de inmediato que tal pregunta esté bien planteada (por ejemplo, intersecciones transversales). Se podría necesitar tomar un subconjunto de la intersección para obtener el teorema de Borsuk-Ulam. No me queda claro cómo sería una demostración de ello. Vea la sección de actualización sobre cómo se puede recuperar la versión continua a partir de la suave.

El resto de esta pregunta es simplemente una expansión de esto.

Antecedentes

En la topología equivariante hay un paradigma de espacio de configuración/mapa de prueba para resolver un problema geométrico.

Específicamente, dado un problema geométrico $P$, definimos el espacio de configuración, $X$, que parametriza todas las soluciones asociadas al problema (como puntos, líneas o arcos). Además, consideramos un subespacio de prueba $Z \subset V$ y un mapa continuo $f:X \to V$ donde $p \in X$ es una solución a un problema si y solo si $f(p) \in Z$. Con esta configuración en mente, también requerimos que $f$ sea $G$-equivariante, donde $G$ actúa en tanto en $X$ como en $Y$. A partir de esto, el método típico de demostración es demostrar la no existencia de mapas $f:X \to_{G} Y \setminus Z$, asegurando la existencia de una solución geométrica.

Más concretamente, en el teorema del sandwich de jamón, permitimos que $X=S^n$ parametrice todas las configuraciones posibles de hiperplanos de dimensión $n-1$ (esto se hace escalando coeficientes en una fórmula de hiperplano y agregando dos hiperplanos en el infinito), permitimos que $Y$ sea $\mathbb R^n$, y permitimos que $f:X \to Y$ sea una función que asigna un volumen a cada "masa" por encima y por debajo de un hiperplano y los resta. Aquí, $G$ es $\mathbf Z_2$, y actúa en la esfera de manera antipodal y en $\mathbb R^n$ de la manera estándar. $f$ es equivariante con respecto a estas acciones.

Una solución es $Z=0$, ya que esto implicaría una sección de todas las masas. Por supuesto, el teorema de Borsuk-Ulam nos dice que tal mapa equivariante no puede existir.

Motivación

Una forma diferente de pensar sobre la configuración anterior (y creo que se usa en un video popular de YouTube) es considerar el problema por coordenadas:

Por ejemplo, en el teorema del sandwich de jamón, tenemos que una solución es una intersección $$\bigcap_{i=1}^{n} X_i$$

donde $$X_i:=f^{-1}\left(\mathbb R \times \dots \underbrace{\{0\}}_{i\text { componente}} \times \dots \times \mathbb R \right)$$

Mi pregunta

Pensando en lo anterior como una variedad de dimensión $n-1$. ¿Existen teoremas que garanticen que tales intersecciones no están vacías cuando $f$ es equivariante? (y para mi discusión suave, aunque no sé si esto es necesario para una demostración)

Más específicamente:

1. ¿Se puede demostrar que $X_i$ se interseca transversalmente con todos los $X_j$ con $j \neq i$?

2. (Si el punto 1 es cierto) Considerando $X_i$ como subvariedades, ¿se puede demostrar que la clase de homología de su intersección no está vacía, es decir, $0 \neq [X_i \cap X_j] \in H_0(S^n)$?

Una conjetura ingenua

El mapa $f:S^n \to \mathbb R^n$ que es $\mathbf Z_2$ equivariante se puede asociar con un $G$-fibrado (en este caso, fibrados vectoriales) $ \mathbb RP^n \times_G \mathbb R^n \to \mathbb RP^n$ dado por $[x,y] \mapsto [y]$. Una sección de este fibrado está dada por $[x] \mapsto [x,f(x)]$ y el hecho de que $f$ no se anule da una sección no nula en este fibrado. Entonces se puede demostrar que esto es imposible en el nivel de la cohomología considerando las clases de Stiefel-Whitney (y en particular la clase top Stiefel-Whitney).

Espero poder utilizar algo sobre la estructura del producto copa en $\mathbb RP^n$ (entendido como el dual de Poincaré a la intersección) en la descomposición anterior para obtener un teorema o resultado similar.

Por ejemplo, en la versión bidimensional del teorema del sandwich de jamón, si dejamos $[X_i] \in H_{1}(S^n)$, entonces de manera genérica $ [X_1 \cap X_2] \in H_0(X)$ (no estoy seguro de cómo demostrar que se intersecan de forma transversal). Luego, usando el hecho de que $[X_1 \cap X_2]^* \in H_2(S^2)$, uno puede usar $$[X_1]^* \smile [X_2]^*=[X_1 \cap X_2]^*$$ para deducir que $[X_1 \cap X_2]$ es no trivial, por lo que hay una intersección.

Para utilizar más información sobre la equivarianza, consideraría las imágenes de $X_1,X_2$ en el mapa de cobertura $S_2 \to \mathbb RP^2$, y realmente usar clases de cohomología $$H^*(\mathbb RP^2,\mathbb Z_2).$$

A partir de aquí, el problema es básicamente solo calcular $[X_i] \in H_1(\mathbb RP^2)$ y demostrar que efectivamente no es trivial.

Una idea esperanzadora pero infundada: El mapa inducido por inclusión $i: X_i \hookrightarrow X$, nos muestra que $$0 \neq w_1(i^*(\mathbb S^n \times_G \mathbb R^n))=i^*(w_1(X))=[X_i],$$ donde $w_1$ es la primera clase de Stiefel-Whitney.

A partir de esto, podemos concluir que $[X_1] \smile [X_2]=x^2 \in \mathbf Z_2[x]/(x^3)$ no es nulo, y por lo tanto $H_0(X_1 \cap X_2)$ y deducir el teorema del sandwich de jamón a partir de esto.

Si hay algo drásticamente diferente a esto, me encantaría escucharlo también, esto es solo hacia donde fue mi pensamiento.

Actualización

En el artículo "demostraciones geométricas del teorema de Borsuk-Ulam en dos dimensiones", se muestra que

1. se puede recuperar la versión continua del teorema a partir de la versión suave (la demostración aquí se generaliza fácilmente a dimensiones más altas).

2. El teorema 2.2 en el artículo establece que un mapa suave equivariante con $0$ como valor regular debe contener un ecuador en $f^{-1}(0)$, a partir de lo cual se puede deducir el teorema (para dos dimensiones).

Por lo tanto, el enfoque suave es equivalente, y hay una demostración "geométrica" que muestra que la intersección debe ser no vacía. La parte 1 de mi pregunta no está respondida, pero se ha demostrado que cada $X_i$ (para dos dimensiones) contiene un subconjunto de variedades que en efecto se intersecan transversalmente.

Answer 1

Si la pregunta es más generalmente "¿se pueden usar anillos de cohomología para demostrar el teorema del sándwich de jamón", la respuesta es sí. Aquí hay un enfoque. Supongamos, para efectos de contradicción, que existía un mapa $S^n \to \mathbb{R}^{n} \setminus \{ 0 \}$ como se indica. Entonces el mapa pasaría a los cocientes $\mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}$. La condición de que el antípoda en $S^n$ se convierta en el antípoda en $\mathbb{R}^n$ significa que un camino de $x$ a $-x$ en $S^n$ se envía a un camino similar en $\mathbb{R}^n$, y así un bucle no contractible en $\mathbb{RP}^n$ se envía a un bucle no contractible en $\mathbb{RP}^{n-1}$. Por lo tanto, tendríamos un mapa $f : \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}$ que era distinto de cero en $\pi_1$.

Ahora, veamos la cohomología con coeficientes en $(\mathbb{Z}/2)$. Obtenemos un mapa $f^{\ast} : (\mathbb{Z}/2)[\eta]/\eta^n \to (\mathbb{Z}/2)[\eta]/\eta^{n+1}$. El generador $\eta \in H^1(\mathbb{RP}^{\ast}, \mathbb{Z}/2)$ corresponde al mapa no trivial $\pi_1 \to \mathbb{Z}/2$, por lo que $f^{\ast}$ debe llevar a $\eta$ hacia $\eta$. Pero tenemos $\eta^n=0$ en el lado izquierdo y no en el derecho, una contradicción.

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Una idea que parece más cercana a tu enfoque original sería usar la cohomología equivariante con coeficientes en $(\mathbb{Z}/2)$. El espacio $\mathbb{R}^n$ es $(\mathbb{Z}/2)$-equivariantemente contractible, por lo que $$H^{\ast}_{\mathbb{Z}/2}(\mathbb{R}^n, \mathbb{Z}/2) \cong H^{\ast}_{\mathbb{Z}/2}(\mathrm{point}, \mathbb{Z}/2) \cong H^{\ast}(\mathbb{RP}^{\infty}, \mathbb{Z}/2) \cong (\mathbb{Z}/2)[\eta]$$ donde el generador $\eta$ está en grado $1$.

La acción en $S^n$ es libre, por lo que $$H^{\ast}_{\mathbb{Z}/2}(S^n, \mathbb{Z}/2) \cong H^{\ast}(\mathbb{RP}^n, \mathbb{Z}/2) \cong (\mathbb{Z}/2)[\eta]/\eta^{n+1}.$$ Como antes, la condición de que el mapa sea equivariante significa que $f^{\ast} \eta = \eta$. Creo que la clase de un hiperplano que pasa por $0$ es $\eta$. Si tengo razón, entonces el cálculo es que $\eta^n \neq 0$ en $H^n_{\mathbb{Z}/2}(S^n, \mathbb{Z}/2)$, lo cual es cierto.