Teorema de la divergencia aplicado a un tensor punto con un vector

Question

¿Es correcta mi expresión para el teorema de la divergencia?

$\int_{V}\underline{v}.div(\underline{\underline{\tau}})dV=\int_{S}\underline{v}.\left(\underline{\underline{\tau}}.\underline{n}\right)dS$

y ¿esto sería igual a

$\int_{S}\left(\underline{v}.\underline{\underline{\tau}}\right).\underline{n}dS$

Gracias.

Answer 1

Si $\vec v$ es un vector y $\vec \tau$ es un tensor (diádico), entonces utilizando la regla del producto de diferenciación para la Divergencia junto con el Teorema de la Divergencia se obtiene

$$\begin{align} \int_V \vec v \cdot (\nabla \cdot \vec \tau) \,dV&=\int_V \left(\nabla \cdot (\vec \tau\,\cdot \vec v)-(\vec \tau^T \cdot \nabla) \cdot \vec v\right) \,dV\\\\ &=\oint_S \hat n\cdot \vec \tau \cdot \vec v\,dS-\int_V (\vec \tau^T \cdot \nabla)\cdot \vec v\,dV \end{align}$$

donde $\vec \tau^T$ es la transpuesta del tensor (diádico) $\tau$.