Análisis Real, Problema 6.1.12 de Folland Espacios $L^p$

Question

Problema 6.1.12 - Si $p\neq 2$, la norma $L^p$ no surge de un producto interno en $L^p$, excepto en casos triviales cuando $\dim(L^p) \leq 1$. (Muestra que la ley del paralelogramo falla.)

Prueba intentada (como sugirió Qiyu Wen) - Sea $f = 1_{A}$ y $g = 1_{B}$ donde $A$ y $B$ son conjuntos disjuntos con medida positiva entonces, $$2\left(\int_{X}|1_{A}|^p d\mu\right)^{2/p} + 2\left(\int_{X}|1_{B}|^p d\mu\right)^{2/p} = 2\left[\int_{X} |1_{A} + 1_{B}|^pd\mu \right]^{2/p}$$ ¿Deberíamos dejar que $X$ sea igual a algo donde violaremos la ley del paralelogramo? No estoy seguro de cómo proceder más.

Answer 1

Necesitas mostrar que $$2\left(\int_X|f|^p\,d\mu\right)^{2/p} + 2\left(\int_X|g|^p\,d\mu\right)^{2/p} = \left(\int_X|f+g|^p\,d\mu\right)^{2/p} + \left(\int_X|f-g|^p\,d\mu\right)^{2/p}$$ no se cumple para todo $f,g \in L^p(\mu)$ si tu $\mu$ es lo suficientemente razonable.

Answer 2

Estabas en el camino correcto notando si $A,B$ son conjuntos disjuntos con medida finita no nula entonces: $$[\int_X |1_A|^p d\mu]^{1/p} = [\int_X 1_A d\mu]^{1/p} = \mu(A)^{1/p}$$

$$[\int_X |1_B|^p d\mu]^{1/p} = [\int_X 1_B d\mu]^{1/p} = \mu(B)^{1/p}$$

$$[\int_X |1_A+1_B|^p d\mu]^{1/p} = [\int_X (1_A+ 1_B) d\mu]^{1/p} = (\mu(A)+\mu(B))^{1/p}$$

$$[\int_X |1_A-1_B|^p d\mu]^{1/p} = [\int_X (1_A+ 1_B) d\mu]^{1/p} = (\mu(A)+\mu(B))^{1/p}$$

Así, como tienes arriba, necesitamos cumplir la ley del paralelogramo, debemos mostrar:

$$2\left(\int_{X}|1_{A}|^p d\mu\right)^{2/p} + 2\left(\int_{X}|1_{B}|^p d\mu\right)^{2/p} = \left[\int_{X} |1_{A} + 1_{B}|^pd\mu \right]^{2/p} + \left[\int_{X} |1_{A} - 1_{B}|^pd\mu \right]^{2/p}$$

Sustituyendo arriba tenemos: $$2(\mu(A))^{2/p}+2(\mu(B))^{2/p} = (\mu(A)+\mu(B))^{2/p}+(\mu(A)+\mu(B))^{2/p}$$

Esto solo se cumple cuando $p=2$.

Entonces hemos demostrado que siempre que estemos tratando con $L^p(X,M,\mu)$ donde $X$ tiene dos conjuntos disjuntos con medida finita no nula, la norma de $L^p$ no proviene del producto interno si $p \neq 2$.

Ahora es donde entra $dim(L^p)$. Nota que si la dimensión es $0$ entonces esto siempre es trivialmente cierto ya que el único elemento es $0 \in L^p$ por lo que en nuestra ley del paralelogramo todo se convierte en $0$. También es cierto si la dimensión es $1$, todo lo que tienes que preocuparte es por $0$ y los múltiplos escalares de una función digamos $f$. Simplemente verifica que la identidad se cumple. Ahora, si la dimensión es mayor que 1 eso me da al menos dos funciones linealmente independientes en $L^p$ así que finalmente tengo dos conjuntos disjuntos con medida finita no nula por lo que todo lo anterior se cumple.