¿Cómo resolver $x^2y''+xy'+x^2ky = 0$?

Question

Estoy trabajando en una ecuación de calor estacionaria de $2D$ (Laplaciano). Hice la Separación de Variables y estoy evaluando $3$ casos ($k>0, k<0, k=0$).

Para el último escenario, no estoy seguro de cómo resolver esta EDO que se desarrolló después de la Separación de Variables. Es casi una ecuación de Bessel de orden cero, pero no del todo debido a ese molesto $k$. ¿Podría alguien darme una pista sobre cómo resolver esta EDO?

$$r^2R''+rR'+r^2kR = 0$$

Editar para agregar información adicional: Comencé con: $${^2T\overr^2} +{1\over r}{T\overr} + {^2T\overz^2}=0$$

Intenté la Separación de Variables de la siguiente manera: $T(r,z) = R(r)Z(z)$

Lo que resultó en estas dos EDOs:

$${1\over R}{^2T\overr^2} +{1\over r}{T\overr} = k$$ $$-{1\over Z}{^2Z\overz^2} = k$$

El problema es un cilindro con altura 1 y radio 1, donde la temperatura es 1 en la parte superior y 0 en la pared curva y la parte inferior. Por lo tanto, $T(r,0)=0$, $ T(r,1)=1$, $T(1,z)=0$.

Estoy luchando para entender cuál caso es apropiado para este problema. Creo que $k=0$ resulta en una singularidad en $r=0$ debido a un término logarítmico natural, por lo que ese caso no parece correcto.

Answer 1

Suponga una solución de la forma $y=\sum\limits_{n\ge0}a_nx^n$, con derivadas $y'=\sum\limits_{n\ge0}a_{n+1}(n+1)x^n$ y $y''=\sum\limits_{n\ge0}a_{n+2}n(n+1)x^n$. Sustituyendo en la EDO (dividiendo ambos lados por $x\neq0$) obtenemos

$$\begin{align*} 0 &= x y'' + y' + x k y \\[1ex] &= \sum_{n\ge0} a_{n+2} (n+1) (n+2) x^{n+1} + \sum_{n\ge0} a_{n+1} (n+1) x^n + k \sum_{n\ge0} a_n x^{n+1} \\[1ex] &= a_1 + \sum_{n\ge1} \bigg(a_{n+1} (n+1)^2 + k a_{n-1}\bigg) x^n \\ \end{align*}$$

Para $n\ge1$, los coeficientes siguen la recurrencia

$$a_{n+1}(n+1)^2 + k a_{n-1} = 0 \implies a_n = -\frac k{n^2} a_{n-2}$$

Desde el término constante, vemos que $a_1=0 \implies a_{2m-1}=0$ para $m\ge1$, lo que nos deja con resolver para los coeficientes de índice par:

$$\begin{align*} a_{2m} &= -\frac k{(2m)^2} a_{2(m-1)} \\ &= \frac{(-1)^2}{2^4} \frac{k^2}{m^2(m-1)^2} a_{2(m-2)} \\ &= \frac{(-1)^3}{2^6} \frac{k^3}{m^2(m-1)^2(m-2)^2} a_{2(m-3)} \\ & \, \vdots \\ & = \left(-\frac k4\right)^m\frac{a_0}{(m!)^2} \end{align*}$$

Entonces, la solución es

$$y = \sum_{n\ge0} a_n x^n = a_0 \sum_{m\ge0} \left(-\frac k4\right)^m\frac{x^{2m}}{(m!)^2}$$

que es un caso de la función de Bessel modificada de primera clase.

Answer 2

Esa es una ecuación de Bessel. Simplemente crea una nueva variable si no puedes verlo. Define $z = C x$ y $y(x) = Y(z)$. Tenemos, $$ z^2 Y'' +z Y' + C^2 k z^2 Y = 0 $$ y establece $C = 1/\sqrt k$.

Answer 3

Dividiendo por $x$ obtenemos: $$xy''+y'+kxy=0$$ Esto se conoce como la ecuación diferencial de Emden-Fowler. Puedes consultar esta pregunta para obtener la respuesta.