Extensión del teorema de representación de Riesz a funciones complejas

Question

El Teorema de Representación de Riesz: Sea $X$ un espacio de Hausdorff localmente compacto e $I$ un funcional lineal positivo en $C_c(X)$ (el conjunto de funciones complejas con soporte compacto). Entonces existe una medida positiva única ${\mu}$ en $\mathcal{B}(X)$, el álgebra $\sigma$-boreliana asociada con la topología en $X$, para la cual $$ I(f)= \int_X f \,d{\mu} \text{ para todo } f \in C_c(f) $$

Supongamos que podemos demostrar este teorema para funcionales reales, ¿cómo podemos extenderlo para funcionales complejos?

Answer 1

¡Esto se puede hacer! Es un hecho notable que el teorema de representación de Reisz para funcionales lineales complejos es sustancialmente más fuerte que el de los funcionales reales. En el caso complejo, el teorema incorpora la estructura de medidas complejas en $X$ como un espacio lineal normado (por la norma de variación total). Además, dado que las medidas complejas tienen variación total acotada, la hipótesis $\sigma$-compacta en el teorema real de Representación de Riesz se desvanece aquí.

En particular, el caso complejo del Teorema de Representación de Riesz dice que el mapa $$ \Phi: \{\text{medidas de Borel complejas regulares en } X\} \rightarrow C_0(X)^*$$ dado por $$\Phi(\mu)(f) = \int_X fd\mu$$ es un isomorfismo isométrico. El componente adicional de contenido algebraico de este resultado respecto al caso real es inmensamente útil, y hace que el Teorema de Representación de Riesz sea una herramienta fundamental en el análisis funcional.

Probar esta versión del Teorema de Representación de Riesz no es simplemente una extensión fácil del caso real del resultado. Para más información, el capítulo 6 del Análisis Real y Complejo de Rudin lo demuestra. La demostración de Rudin utiliza el caso real del Teorema de RRT y el hecho de que para una medida real $\sigma$-finita $\lambda$, el dual de $L^1(X, \lambda)$ puede ser identificado con $L^\infty(X, \lambda)$, lo cual es un resultado no trivial.