¿Los morfismos de $\textbf{Set}$ son funciones, no relaciones generales?

Question

En la categoría $\textbf{Set}$, donde los objetos son conjuntos y los morfismos son funciones entre conjuntos, ¿por qué los morfismos no pueden ser cualquier relación arbitraria? Los morfismos tienen que preservar la estructura de los objetos, pero ¿qué estructura tienen los conjuntos que las funciones pueden preservar pero otras relaciones no pueden? ¿Tiene algo que ver con que haya un número infinito de relaciones entre cualquier par de conjuntos mientras que entre conjuntos finitos solo hay un número finito de funciones distintas?

Si simplifica no tener que considerar conjuntos infinitos, las mismas preguntas siguen siendo válidas para la categoría de conjuntos finitos $\textbf{Set}_{fin}$, donde los morfismos son específicamente aquellas relaciones que también son funciones.

Answer 1

También puede preguntarse, "¿por qué es $\mathbb{Q}$ el conjunto de números racionales en lugar del conjunto de números reales?" La respuesta es que simplemente definimos el símbolo $\mathbb{Q}$ para referirnos a los números racionales, y en su lugar usamos el símbolo $\mathbb{R}$ para referirnos a los números reales.

De manera similar, el símbolo $\mathbf{Set}$ se define simplemente para referirse a la categoría cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son funciones. No hay nada de malo en definir una categoría cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son relaciones, pero deberías darle a esa categoría un nombre diferente ya que todos los demás están de acuerdo por convención en que los morfismos en $\mathbf{Set}$ son funciones, y se confundirán si lo usas con un significado diferente. La categoría cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son relaciones se llama tradicionalmente $\mathbf{Rel}$ en su lugar.

En cuanto a por qué la gente habla mucho más sobre la categoría $\mathbf{Set}$ que sobre $\mathbf{Rel}$, esa es una pregunta más profunda. Consulta esta pregunta de MO para obtener algo de discusión.

Answer 2

No hay nada en los axiomas de lo que es una categoría que te obligue a usar las funciones en lugar de las relaciones. Es solo una cuestión de definición que llamemos a la categoría de conjuntos y funciones $\mathbf{Set}$. También existe una categoría de conjuntos y relaciones, que la gente llama $\mathbf{Rel}$.

Por supuesto, está la pregunta de cuál de estas dos categorías "merece" ser considerada más fundamental. Hay un buen argumento de que $\mathbf{Rel}$ debería venir primero en algún sentido, ya que todas las funciones son relaciones, pero no al revés. Pero en la práctica matemática cotidiana las funciones parecen surgir mucho más a menudo que otros tipos de relaciones, por lo que correspondientemente $\mathbf{Set}$ recibe más atención que $\mathbf{Rel$}.