Intuición para el producto geométrico siendo el producto punto + producto cuna

Question

Mientras me siento bastante cómodo con el significado de los productos punto y exterior por separado (paralelismo y perpendicularidad), lucho por encontrar significado en el producto geométrico como la combinación de los dos dado que uno es un escalar y el otro es un bivector:

$ ab = a \cdot b + a \wedge b $

No puedo quitarme la sensación de que no puedes sumar manzanas y naranjas y producir algo significativo.

Siento que la Identidad de Lagrange está diciendo algo similar para los productos punto y cruz, al mismo tiempo que los relaciona con un círculo/teorema de pitágoras:

$ \vert a \vert^2 \vert b \vert^2 = \vert a \cdot b \vert^2 + \vert a \times b \vert^2 $

pero por alguna razón simplemente no encaja. Me encantaría escuchar sugerencias sobre cómo pensar en esto y qué significa.

Answer 1

Sí, estás sumando manzanas y naranjas. Pero hay un sentido en el que se pueden sumar manzanas y naranjas: ponerlas juntas en una bolsa. Las manzanas y naranjas mantienen sus identidades separadas, pero hay "manzanas + naranjas" en la bolsa. La situación con los productos internos y externos de vectores es análoga: la bolsa es $ab$ y $a \cdot b$ y $a \wedge b$ están "en" ella.

Adaptado de mi texto Álgebra Lineal y Geométrica.

Answer 2

Como insinué en mi comentario original, el isomorfismo a números complejos (que mencionan otras respuestas) es un buen camino para pensarlo...¡si es que los números complejos son aceptables intuitivamente, claro! :-) La parte simétrica del producto punto corresponde a la parte real de un número complejo, y la parte de la cuña antisimétrica corresponde a la parte imaginaria.

Sin embargo, prefiero la siguiente intuición para ambos en términos de cómo funciona matemáticamente (sin hacer realmente las matemáticas, por supuesto jaja):

El producto geométrico entre dos vectores produce un operador geométrico que puede realizar una rotación escalada de otro vector (o de otros objetos de GA a través de la linealidad) de acuerdo a las propiedades de la relación que captura entre los dos vectores: su ángulo relativo y magnitudes. Sin importar cómo lo etiquetes, la principal intuición para visualizarlo es que es un operador con el potencial de rotar algo, en lugar de ser una rotación en sí misma (o un 'arco dirigido' según Hestenes, lo cual crea más confusión que claridad en mi opinión).

Para verlo fácilmente sin tener que calcular todos los detalles, ten en cuenta que el producto geométrico resulta en un valor con partes de escalar y bivector. Al multiplicar un tercer vector por el producto (ahora un operador), la parte escalar del operador simplemente creará una versión ponderada del vector en la misma dirección, y la parte del bivector del operador creará un vector ponderado en su dirección ortogonal, ya que al hacer la cuña de un vector con un bivector 'cancela' cualquier parte en la dirección compartida. La suma de esas dos 'componentes' del vector resulta en que el tercer vector sea esencialmente rotado/escalado, dependiendo de todas las magnitudes y ángulos relativos.

Answer 3

La interpretación más intuitiva de un Producto Geométrico que he encontrado es de Hestenes, quien señala que se puede visualizar como un arco dirigido al igual que un vector se puede ver como una línea dirigida.

Para más profundidad, consulta la página 11 de lo siguiente:

Hestenes - Conferencia de la Medalla Oersted.

Answer 4

Voy a tratar de explicar por qué no hay manzanas ni naranjas, solo hay reflejos. Las manzanas y naranjas aparecen porque para poder calcular realmente la historia geométrica que voy a contarte, usamos una base ortogonal.

Los vectores pueden considerarse como representando (híper)planos. Por ejemplo, en el espacio 3D un vector puede usarse para representar un plano a través del origen. Ahora, un plano $u$ puede ser reflejado en un plano $v$ usando

$$ v[u] = -vuv^{-1}, $$

donde el signo negativo es necesario para que cuando reflejes $v$ en sí mismo, el frente y el reverso del espejo se inviertan ($v[v] = -v$). Si ahora también realizamos una reflexión en un segundo plano $w$, obtenemos la rotación

$$ w[v[u]] = (wv)u v^{-1} w^{-1} = (wv) u (wv)^{-1} $$

La composición de dos reflexiones $wv$ se llama bireflección, y de hecho podría ser una rotación, una traslación o un impulso. La imagen a continuación muestra cómo dos reflexiones que se cruzan forman una rotación, mientras que las reflexiones paralelas forman una traslación.

Así que el producto de dos vectores es una bireflección. Las manzanas y las naranjas solo aparecen porque para calcularlo realmente, tendríamos que elegir de alguna manera una base. Manteniéndonos con el ejemplo 3D, podríamos elegir una base ortogonal $e_1, e_2, e_3$ tal que $e_i e_j = \delta_{ij} + e_{ij}$ y representar cualquier plano como $x = \sum_i x^i e_i$.

Ahora, cuando calculamos la bireflección $wv$ obtendremos una parte escalar y una parte bivectorial: $$ w v = \sum_{ij}(w^i e_i) (v^j e_j) = \sum_i w^i v^i + \sum_{i \neq j} w^iv^j e_{ij}. $$

Así que solo recuerda la verdad: no hay manzanas ni naranjas. Para obtener más detalles sobre este enfoque, te remitiría a este video, o al artículo de Grupos de Simetría Graduada. Descargo de responsabilidad completo: soy uno de los autores.