Voy a tratar de explicar por qué no hay manzanas ni naranjas, solo hay reflejos. Las manzanas y naranjas aparecen porque para poder calcular realmente la historia geométrica que voy a contarte, usamos una base ortogonal.
Los vectores pueden considerarse como representando (híper)planos. Por ejemplo, en el espacio 3D un vector puede usarse para representar un plano a través del origen. Ahora, un plano $u$ puede ser reflejado en un plano $v$ usando
$$ v[u] = -vuv^{-1}, $$
donde el signo negativo es necesario para que cuando reflejes $v$ en sí mismo, el frente y el reverso del espejo se inviertan ($v[v] = -v$). Si ahora también realizamos una reflexión en un segundo plano $w$, obtenemos la rotación
$$ w[v[u]] = (wv)u v^{-1} w^{-1} = (wv) u (wv)^{-1} $$
La composición de dos reflexiones $wv$ se llama bireflección, y de hecho podría ser una rotación, una traslación o un impulso. La imagen a continuación muestra cómo dos reflexiones que se cruzan forman una rotación, mientras que las reflexiones paralelas forman una traslación.
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Así que el producto de dos vectores es una bireflección. Las manzanas y las naranjas solo aparecen porque para calcularlo realmente, tendríamos que elegir de alguna manera una base. Manteniéndonos con el ejemplo 3D, podríamos elegir una base ortogonal $e_1, e_2, e_3$ tal que $e_i e_j = \delta_{ij} + e_{ij}$ y representar cualquier plano como $x = \sum_i x^i e_i$.
Ahora, cuando calculamos la bireflección $wv$ obtendremos una parte escalar y una parte bivectorial: $$ w v = \sum_{ij}(w^i e_i) (v^j e_j) = \sum_i w^i v^i + \sum_{i \neq j} w^iv^j e_{ij}. $$
Así que solo recuerda la verdad: no hay manzanas ni naranjas. Para obtener más detalles sobre este enfoque, te remitiría a este video, o al artículo de Grupos de Simetría Graduada. Descargo de responsabilidad completo: soy uno de los autores.