¿Son los conjuntos difeomorfos deformables suavemente uno en el otro?

Question

Dados conjuntos conectados, limitados y abiertos $U, V\subset \mathbb{R}^n$ y un difeomorfismo que preserva la orientación $F:U\to V$, ¿siempre hay una isotopía $H:[0,1]\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, tal que $H(0,\cdot)=id_{\mathbb{R}^n}$ y $H(1,\cdot)_{|U}=F$ (¿qué pasa si cambiamos el dominio de $H$ a $[0,1]\times U$?)

Answer 1

Primero, un ejemplo en 2 dimensiones: Sea $U\subset {\mathbb C}$ el anillo abierto $$\{z: 2^{-1}<|z|<2\}$$ y $f(z)=z^{-1}, f: U\to U$ es un difeomorfismo que preserva la orientación. Envía el círculo interior al círculo exterior (dando vuelta el anillo "al revés"). Ahora no es difícil ver que el mapa $f: U\to U\subset {\mathbb C}=R^2$ no es isotópico a la identidad.

Aquí hay una respuesta a una versión más interesante de tu pregunta: Dados dos subconjuntos conectados difeomorfos $U, V$ de $R^n$, ¿siempre hay un difeomorfismo $f: U\to V$ que es isotópico a la mapa identidad de $U$?

La respuesta a esto es positiva en dimensiones 1 (fácil) y 2 (tricky) y negativa en dimensiones $>2$. Tomemos $U$ y $V$ como vecindades tubulares abiertas del nudo trivial y un nudo no trivial en $R^n$ respectivamente. (Recuerda que un nudo en $R^n$ es una esfera de codimensión 2 incrustada suavemente.) Por ejemplo, en el caso $n=3$ puedes tomar $U$ como un tubo alrededor de un círculo redondo y $V$ como un tubo alrededor del nudo trébol.

En el lado positivo, una isotopía suave existe siempre que $U$ sea difeomorfo a $R^n:

Teorema. Supongamos que $U, V\subset R^n$ son subconjuntos abiertos difeomorfos a $R^n$. Entonces cada difeomorfismo que preserva la orientación $f: U\to V$ es suavemente isotópico (como un mapa $U\to R^n$) al mapa identidad $U\to U$.

Prueba. Necesitaré dos ingredientes básicos para la prueba:

Lema 1 (lema de concatenación). La isotopía suave es una relación de equivalencia: si $f\sim g, g\sim h$ entonces $f\sim h$, donde $f, g, h$ son aplicaciones embebidas difeomorfas $M\to N$ entre dos variedades suaves fijas y $\sim$ es isotopía suave.

Usando este lema, se reduce la prueba del teorema al caso $U=R^n$. También necesito otro lema que es un ejercicio agradable en álgebra lineal:

Lema 2. El grupo $Aff_+(R^n)$ de mapas afines (invertibles) que preservan la orientación $R^n\to R^n$ es conectado.

Ahora, podemos probar el teorema. Dado que $f$ preserva la orientación, obtenemos (por la fórmula de Taylor en $0$) $$f(x)= A(x) + O(|x|^2),$$
(a medida que $x\to 0$), donde $A\in Aff_+(R^n)$. Al componer $f$ con $A^{-1}$ y aplicar el Lema 2 (y usando, nuevamente, la propiedad de concatenación de isotopías suaves), se reduce el problema al caso $f(0)=0$ y $Df(0)=I$, (la derivada en $0$ es la matriz identidad). Ahora, considera el mapa suave $$F(x,t)= t^{-1} f(tx), x\in R^n, t\in (0,\infty).$$ Claramente, $F(x,1)=f(x)$ y (por la definición de la derivada en el origen!) $$\lim_{t\to 0+} F(x,t)=Df(0)(x)=x.$$ Luego se verifica que la fórmula $F(x,0)=x$ define una extensión suave del mapa original $F$ a un mapa $F: R^n\times [0,\infty)\to R^n$, que es la isotopía requerida entre $f$ y el mapa identidad. qed