¿Cómo encontrar el valor mínimo y máximo de x, si x+y+z=4 y $x^2 + y^2 + z^2 = 6$?

Question

Sé que al poner y=z, obtendremos 2 valores de x. Uno será el mínimo y otro será el máximo. ¿Cuál es la lógica detrás de esto?

Answer 1

Una forma sencilla de ver la simetría es escribir las condiciones de KKT para el problema de optimización utilizando multiplicadores de Lagrange para las restricciones. Si escribe las condiciones de KKT, puede ver fácilmente que en la optimalidad $y=z$. Usando este hecho, puede calcular las dos respuestas para x, una de las cuales minimiza el objetivo y la otra lo maximiza.

Answer 2

Creo que tengo una solución simple a este problema, aunque no es elegante. Tenemos $x^2+y^2+(4-x-y)^2-6=0$ eliminando z de las 2 ecuaciones dadas. Y a partir de esta condición ($x^2+y^2+(4-x-y)^2-6=0$) tenemos que encontrar el valor máximo y mínimo de x. En otras palabras, debemos encontrar el rango de x para que esta función $x^2+y^2+(4-x-y)^2-6=0$ exista (esto es una elipse, no una función pero una relación). Una cosa simple que podemos hacer es expandir esta expresión para obtener $2x^2+2y^2+10+2xy-8x-8y=0$. Esto es un cuadrático en y. x e y solo pueden tomar valores reales, por lo tanto, para que y sea real, el discriminante de esta ecuación cuadrática en y debe ser mayor o igual a 0. Así que resuelva esta desigualdad para obtener el rango de x entre 2/3 y 2