¿Cómo encontrar el valor mínimo y máximo de x, si x+y+z=4 y $x^2 + y^2 + z^2 = 6$?

Question

Sé que al poner y=z, obtendremos 2 valores de x. Uno será el mínimo y otro será el máximo. ¿Cuál es la lógica detrás de esto?

Answer 1

Pista: El profesor vector tenía razón, excepto por un pequeño factor que falta. Usa $y^2+z^2 \ge \frac12 (y+z)^2$ y construye una desigualdad cuadrática en $x$.

Deberías obtener $\frac23 \le x \le 2$.

Answer 2

Pista:

$x+y+z = 4$ es un plano que tiene intersecciones iguales de $4$ en los ejes de coordenadas y $x^2 + y^2 +z^2 = 6$ es una esfera centrada en $(0,0)$ con radio $\sqrt{6}$

Answer 3

$$6-x^2=y^2+z^2\ge2\,\left(\frac{y+z}2\right)^2=2\,(2-x/2)^2\tag1$$ implies $$\frac32x^2-4x+2\le0,$$ es decir $$\frac23\le x\le2.$$ La igualdad en (1) significa que $y=z$.

Answer 4

$z=4-x-y$

$x^2+y^2+(4-x-y)^2-6=0

Diferenciar con respecto a $x$ y $y

$2x-2(4-x-y)=0$

$2y-2(4-x-y)=0

Da como resultado $x=y=4/3$

Answer 5

La segunda condición da como resultado $$x^2+(y+z)^2-2yz=6$$ o $$x^2+(4-x)^2-2yz=6$$ o $$yz=x^2-4x+5,$$ lo cual con $y+z=4-x$ nos lleva a $$(4-x)^2-4(x^2-4x+5)\geq0$$ o $$3x^2-8x+4\leq0$$ o $$\frac{2}{3}\leq x\leq2.$$ La igualdad ocurre cuando $y=z$ porque $y$ y $z$ son raíces de la ecuación $$t^2-(4-x)t+x^2-4x+5=0$$ y la igualdad en $\Delta\geq0$ ocurre cuando $y=z$.

Es decir, $$\max_{x+y+z=4,x^2+y^2+z^2=6}x=2$$ y $$\min_{x+y+z=4,x^2+y^2+z^2=6}x=\frac{2}{3}.$$ ¡Listo!